スローライフの森　数１　＆　自家菜園

01


楕円の焦点と離心率


2定点　F(C,0) F'(-C,0)


からの　距離の和が　２aとなる

点P(x,y)　の　軌跡の　方程式を　求めよ

図のように　座標を　設定し


02


この　F　F'　のことを　

楕円の　焦点と言うのだけれど


点と直線の　距離から

PF　PF'を　求めると




03
こんなであるので

それが　＝　２a

と置いて


ｘ、ｙ　の　式に　展開　整理して行くと



04
まず　ここから

辺々平方して


整理して


05

少し簡単にして


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もう一回　平方して


07

展開して


08

整理すると


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ここで

P（ｘ、ｙ）を　ｙ軸上に　取ると

二等辺三角形ができ

等しい一辺は　aに　等しいので


3平方の定理から


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もうすこし

簡単になって


この場合

aは　半長軸長　　bは　半短軸長


cは　F(C,０）　F'(-C,０）

の　Cで

長軸側に　二つできる　焦点




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今回の　焦点は　長軸側　ｘ　軸上なので



図のような感じ


半長軸　分の　c 焦点が

離心率になるので


これを　e　とすれば



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C のところは　先ほどの　直角三角形の

辺の　値から


こんな感じで


それを　半長軸長で　割ればさ


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離心率が　出てれば

少しン書き換えると

こんな感じにも



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長軸が

ｙ軸側に来ると

さっきと逆



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楕円の　離心率　焦点の座標

楕円の　周上の　点から　2焦点に　至る

距離の　和を　求めよ



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かっこ１　

その前に

公式と言うか

　
楕円の標準形


焦点　離心率


長軸　短軸



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標準形に　すべく

両辺３６で割って



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半長軸長　半短軸長　は

ｙ軸が　長軸側に　なるようなので

a=2 b=3



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b＞a　今回は　ｂが　長軸

周上の点を　短軸側の頂点aに　持ってきて

焦点を　F,F'とすれば

PF+PF'=2b
であるから

PF=PF'=b


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3平方の　定理で

焦点のｙ座標が　プラスマイナス√５



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離心率は

今回は　b分の　焦点の原点から　焦点までの

長さ

周上の点から　2焦点に至る　距離の和は

6




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同じく

楕円の　離心率　焦点の座標

楕円の　周上の　点から　2焦点に　至る

距離の　和を　求めよ


楕円は　円の特殊な形なので

円の方程式の　標準形に


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平方完成して

ここから

両辺
36で割ると


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分子が

平行移動を

示してるので


原点中心の　場合で考えて




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原点中心で

長軸６　短軸４　の

楕円を

ｘ軸の　正の方向に　+2

ｙ字句の正の方向に　-3

平行移動したグラフ


周上の点から　２焦点に至る

距離の和は　2a = 長軸の長さ

（a：半長軸長　）


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なので

直角三角形に

当てはめると

ｙ軸上が　短軸

半短軸長　2


ｘ軸上が　長軸

半長軸長　３


F,F'　の　Cが　焦点の　ｘ座標なので



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焦点は　これは　原点中心の時だから

平行　移動分を　加味して


こんなですか



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で　離心率は

a=3 b=2

のとき

公式に入れて

こんなです




29
楕円の　長軸　短軸の　長さ

焦点の座標　を　求め

グラフの概形を書け


右辺を　1にして

楕円の標準形に

持ち込みたい


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標準形に　すると

こんな感じなので


半長軸長　　a＝５

半短軸長　　ｂ＝４


長軸長　１０　　短軸長　８


焦点は


3平方の定理で




31

ナタメ

グラフ　概形は　こんな感じ



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楕円の　長軸　短軸の　長さ

焦点の座標　を　求め

グラフの概形を書け




半長軸長　　ｂ＝１

半短軸長　　a＝（√2/2）


長軸長　2　　短軸長　√2



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3平方の定理で

半短軸が　a

斜辺が　丁度　等しくなるとこに　持ってきて

半長軸長　ｂ　に等しくなるので


焦点は


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まとめると

こんな感じ



35

楕円の　長軸　短軸の　長さ

焦点の座標　を　求め

グラフの概形を書け


初めから

標準形

平行移動の　値も　分かる



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周上の点から　2焦点に至る　距離の　和は

長軸　の長さに等しいので

（　長軸長２a　a半長軸長　）

グラフを　原点　中心に

置くとき
短軸の一方の端　と　焦点と　原点で

できる

三角形に　3平方の定理を　適用して


焦点の　座標が　求まり


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出てきた　焦点に　平行移動

分を　加味して



38

グラフは

原点から　右上に


紙面の都合で

下に　ありますが


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楕円の　長軸　短軸の　長さ

焦点の座標　を　求め

グラフの概形を書け


まず　円の方程式の　標準形


楕円は　その中の　特殊な場合



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右辺が　１　になる様に　持ち込んで


半長軸　半短軸　の　二乗をもとめ


そこから

長軸　　短軸



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平行移動　する前の

中心原点の　グラフで　考え


短軸の　プラス側　頂点


焦点の　プラス側　F


原点で　できる　直角三角形から


焦点の座標ｃを　三平方の定理で

求めて



長軸　短軸の　長さは　そのまま

焦点の座標に　平行移動分を　加味し


グラフは　こんな感じに

なりました。


お疲れ様です。

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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