スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし　

空間座標とベクトル


空間図形（１）


01

３垂線の定理と言うのがあるですが


02

問題を

図にしてくと


平面上に

2本の直線があると

Hで　交わってる

そこへ

平面ほかのPから　垂線を

下したとき

2直線に

垂線が　垂直ならば

任意の　平面上の直線に対しても

垂直であることを

示せ



03

だから

平面上に

もう1本　ｎ　と言う

任意の直線を

引くじゃナイスカ

他の2直線との　交点を

Q,R　とすれば


PH　垂直　L　なので

L 　上のベクトル　HQとも

当然　垂直


PH　垂直　ｍであるから

ｍ上のベクトル　HR　とも

当然垂直である

ここで

出てきた　➀�Aの式を

引算すると


PH　で　くくると


04

なんと

直線　ｎ　上の　ベクトル

RQ　と　垂直になってる

だから

PH　垂直　　ｎ



05

今度は

Hから　平面上の　直線に

垂線を　引いたばあい

その交点を　Qとすれが

PQ　垂直　L　であるを

示せ




06

PH　垂直　Lであるから

とうぜん

L　上の　ベクトル　QRとも

垂直である


Hから　Lに垂線を引いて

Qとしたのだから

当然

HQ　垂直　QRである


今度は

この　�B�C式を

足すと


07

なるんですよ


08


今度は

たまに　出て来そうな　問題です

地球は　丸かった



地球を　球と考えて

A地点を　北緯0度　東経0度


B地点を　北緯45度　統計35度


としたとき

地球の中心を　0として

角AOBは　何度か



09


空間座標を

考えるでしょ


10



普段から

こういう　計算してないと

あれって思いませんか



11

だからね

コレ　イメージわかるかな





12

だからね

Bの座標は　こうなんですよ



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これで

空間座標の　なす角を

求めると



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120度



15

問題

これは
ベクトルの　設定が

出来れば

半分できた


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まず　基本的な　ベクトルは

こんな感じで


AP　と　CQ　を

こんな感じにできれば



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２乗で　内積を

展開してくと


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題意より

正四面体であるので

もうちょっと　簡単になる



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こんな感じに

まとめて


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整理して


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これをさ

平方を　作ると


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P,Qが　それぞれ

中点の時

最初になる



23

問題



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これはさ


中点の　連結定理で

計算したらば


PQは



25
SRは



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ここで

平行四辺形



27
で

PSは




28
QRは



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PQ　と　PSは

必ず　平行とは　限らない

であるから


平行四辺形

お疲れ様です。