スローライフの森　数１　＆　自家菜園

楕円の性質

01

楕円があって


だ円周上の　任意の点を　P　とする時

Pより　直線　ｘ＝　a/e　に　おろした

垂線の　足を　H　とすれば

PF:PH　は　一定　であることを

証明せよ


ただし、　F　を　焦点　、　e　を　離心率

とする



02

作図しますとですよ

こんな感じで

焦点　F　(C、0）　とすれば




03

2点間　の　距離は

公式があったじゃナイスカ


PF　は　こんな感じ


04

PH　の方はと言うと


こんな感じ


05

比の値と言うのは

こんな感じの　公式があるので

分数の形にして

一定になることが　言えればですよ


06

これが　一定ならばいいいですが

題意に　与えられてない文字を

かってに　使ってるとこがありますため


F（C、0）

この座標は　勝手に　C　を　使いました


そこで

使っていい文字に　変えないといけないじゃナイスカ



07
そこで

P(x,y)　は　楕円上の点であるので

楕円の式から

ｙ二乗を　



08

�B　しき


09

楕円の　性質で

周上の　点が　短軸の　片方の端

にあるとき

PF+PF'=2a

対称な　三角形が

できるので


10

焦点F（C,0)　の

C　の値が

ピタゴラスの定理で

a,b

で　表せて

a,b　は　題意にあるので

離心率の定義から

式変形で

�C式


11

部品が　できてきたので

➀式の方に

代入しながら


12

まず

�C式を



ついで

�B式の

ｙ　二乗


を　PF　の式に　代入


13
展開して

‭整理していくと



14

ここに　あるのは

題意に

使ってある　文字だけだけど



15

�C式を　さらに　変形して

�D式として


16

�C式を　もう一つ

さらに　変形して

�E式として



17

PF　の式に　代入したらばに


18

因数分解　できて


19

徐行マーク点灯中

このまんま

根号を　外しては　まずいんですよ


根号の　中身は　正の約束


大小関係から

外すときに　こうなる



20

で

かってに　使ってた　文字が消えたので

分数の　あたを　計算して


比の値を　見ると


一定　　　　e　イィ―


21

楕円上の　任意の点を　P

焦点を　F、　PO　が　ふたたび

楕円の交わる点を　Q　とする時


（１）PF=a-ex


（２）PF+QF　　一定　


を　証明せよ



22

（１）の方は

さっきと同じに


F（C,0）　と置いて



Cを　題意にある　a,b

で表し


さらに

離心率の定義から

あ　これは

題意に　離心率　と書いてないけど

これこれを　示せの方に　e　（　離心率　）

があるので

暗黙の　了解と言ことで

離心率　e　は　使ってしまって



23
さっきやった

とこなので

部品を　作って


24


ｙ二乗のとこは

楕円の　式から

変形して



25

代入いたしますと


26


変形して


27

ここまで持ってくると


28

因数分解で

根号を　間違わないように　外せれば

オッケイ


29

かっこ　２は

楕円であるので

Q　の座標は

P と　対称で　符号が違う状態


30

二点間の　距離を　計算するでしょ


31

Cは　勝手に　使ったので

使える文字に

置き換えると


32

さっきと　少し　似てますが

展開　整理　代入


33

展開　整理


34

代入

展開

因数分解

今回は　根号は　そのまま外せて


35

たしたらば

一定になったと


36

ABを　超軸　とする

楕円上の点　P　から

AB　に　おろした垂線　の足を

Qとすれば

この式が　一定になることを

示せ



37

面積みたいに　考えると

長方形　と　正方形　の　面積比

が　一定　になるらしいと


座標を　設定して

一定になればいいんですが



38
PQ二乗は　一辺のながさ

ｙ　の　正方形

なので

ｙ二乗




Pは　楕円上の　点であるので

楕円の　方程式から

ｙ二乗を


39

PQ　二乗は　こんなで


40

AQ・BQは

こんなだから


比の値は


41

題意に　楕円の　方程式は

書いてないけど

これを　見ると

一定に　なると言えるにで

一定


42

中心　が　O　である　楕円上の　点P


と　短軸の　両端を　結ぶ　直線が

再び　長軸　と　交わる点を

Q,Rとする時


OQ・OR は　言ってあることを　示せ



43

こういうことでしょ

短軸の　両端を　B,B'　として



PB　PB'　の　直線の　方程式を　求めて



ｙ＝０　を　代入したらば


長軸と　再び　交わる　Q,Rの

ｘ座標が　出るので



44

こうじゃナイスカ



45

ORは　距離なので
　

マイナスに　なるといけないから

絶対値を　付けて


46

OQの方


47

掛け合わせると



48


P(x1、y1)は

直線の方程式を

導くのに

つ使ったのですが


楕円上の　点であるので

楕円の方程式に

代入しても

成り立つから


49

へんけいしてくと


50

分かりやすい感じに


なっただ

ナイスカ



本日の　午前の天気は

快晴　さむい！！



きょうの天気は　イィー！

今日　我が家のバイクは
寒すぎて　エンジンかかんない

あ　ちょっと―いいですか




根号 からの　お願いがあります






（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）