2021年01月11日
08027 大人のさび落とし 弦の中点の軌跡 訂正があったため 訂正いたしました。
弦の中点の軌跡
01
定円 と 動直線があって
この二つが 交わって 弦PQを 作るとき
弦 PQ の 中点を M として
Mを ｍの式で 表し
へてから
Mの 軌跡を 求めなさい みたいな
問題です
02
中点Mは 弦 PQ が決まって
そこから 出てくるので
Mが動くわけなんだけど
移動する 元の方
先に 動く方を
弦PQ の Pと Qの 方に
補助変数を 使うと
03
中点Mは こんなかんじに 成るんだけど
あ
全体的な イメージは こんなですか
04
直線と 円の 交点を もとめるために
方程式を 連立して
解いていくと
ｘを まず消去して
ｙ から求めるに
二つ 解が でるように しないと
いけないのですが
二つの解は
ソレゾレ
P、Qの y座標
ｙ１． ｙ２
05
まずこの
ｙの 2次方程式が
異なる 実数解を 持つためには
判別式：D D＞０
それと
ここが 味噌ですよ
交点になる y座標は P,Qのy座標
中点は （ｙ１+ｙ２）/2 であるから
解と係数の関係の
α+β＝まいなす a ぶんの b
を使うと じゃナイスカ
06
解と係数の関係から
ｙ１+ｙ２ が出て来て
07
そこが分かれば 中点の ｙ座標は
08
中点M は M(X,Y)
Yが でてて
Xを 求めるに
X,Yは 直線 ｘ＝ｍｙ+6 上にあるのだから
ここに 代入したらば
09
中点が出て来ました
解と 係数の 関係は 便利でしょ
でですよ
PQが 弦を 形成する ｍの範囲があるので
さっき ほったらかしてた
判別式で
10
こんな感じに
絶対値を 付けて 表すと
こんな感じ
11
絶対値は こんなだったですよ
12
それを 踏まえると
先ほどの
ｍの 範囲の 意味は
こんな感じ
13
題は これで 終わりじゃなくて
中点Mの軌跡なので
X Y から ｍ を 消去して
X Yの 関係式にすると
14
こんな感じに
ｍが ラージ X と ラージ Yになったので
15
これを
どちらかに もう一回 代入すれば
16
こんなか
17
式を 変形してくと
円になるんだけど
ｍに 範囲があるので
そこから
Xの 変域を 調べると
18
ラージX の 分母に ｍ が効いてくるんだけど
mは2乗
マイナスに 大きくても、 プラスに おおきくても
全体で
その時の 極限的 目標的な ｍの 値が 最大で
限りなく 0 に 近づいていくが
0には ならない
ナタメ
Xの 変域は ０＜ X ＜ 2/3
19
試験の時は 落ち着きたくても
おちつけないものですが
20
プレッシャー に 負けては
いけないけど
余計な エネルギーを 外に使うと
もっといけない
この辺は
ベテランの かたから
いろいろ うかがってると思いますので
21
類題を
定円に対して
ある 原点を 通る直線と 平行な
直線が 交わって できる 弦の中点の
軌跡を 求めなさい
イメージは
こんなで
22
ここから
中点を 求めるのだけれど
弦の 中点ときたら
解と係数の関係
移動する 中点のMの
移動元の
弦を作る
P、Qを 補助変数を 使って
それと
弦になる様に
異なる 2点で 交わるためには
判別式D D>0
23
まず 交点を 求めていくと
連立から
ｙを 消去して
判別式 D>０ から 範囲
中点の 座標は 解と係数の関係を使うと
中点のｘ座標が出る
24
中点は
直線上にあるから
中点の x座標を だいにゅうしたら
ｙ座標が出て
X Y から ｍを 消去すると
Mの軌跡になる
25
行ってみましょう
連立から ｙを 消去で
ｘの 2次方程式 にして
これが 二つの 解を 持つように
しながら
この 二つの解は 弦の元の P、 Q の ｘ座標
ｘ１、ｘ２
26
判別式から
ｍの範囲が出て来て
これは 同直線の ｙ切片だけど
27
解と係数 の 関係を 使って
中点の ｘ 座標を 求め
28
中点は 同直線上に あるので
29
中点MのYが求まり
30
中点Mの 軌跡は
31
ｍ の 範囲は 直接
軌跡に かかってこないから
ｍの範囲は 出てるけど
軌跡が ｙ＝1/2ｘ で
円の内部
32
今度は 放物線 と 同直線
によって できる 線分の 中線の 軌跡
33
方程式を 連立して
ｙ を 消去の ｘの 2次関数にして
34
コレが 線分に なる様に
異なる 2点で 交わるよう
判別式で
範囲を 定めて
35
解の公式で
ｍ を出すと
置いといて
36
線分ABの 中点は
連立から 出た
ｘの 2次方程式の
二つのかが
ｘ１、ｘ２であるから
解と係数 の関係を 使って
中点の ｘ 座標を 出してしまうと
37
ｘ座標がでれば
中点の Y座標も
38
中点が 分かったから
39
中点のX Y から ｍを 消去して
中点の軌跡
40
範囲を 整えて
こんな感じ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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