スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし

図形と方程式　　定点を　通る　直線群






01

今回は

直線の　交点　という風にも

とれますが


その交点に関して

2直線の交点を　通る　直線群の

方程式


問題を　読んでいただいて



02


こんな公式があるんですが

ｋを　任意の実数とする時


2直線の

交点を　通る

直線群

赤鉛筆のところ

ホントは

くまなく　赤くなりますが

イメージとしてですね


03

（１）は

2直線の交点と　原点を　通る

直線の方程式を

求めよなので



公式で

2直線の　交点を　通る

直線群の　方程式をもとめ


この　直線群の中から

原点を　通るものを

求める


つまり

この直線群の中から

原点を　通る　時の

実数値　ｋ　を　求めて


ｋを　直線群の　方程式に

代入すると


直線の　交点を　通る

直線群の中から

原点を　通るものが出てくると


04


で

X=0　Y=0　を　代入して

ｋ　を　求めたところ



ｋ＝−５


これを

直線群の　方程式に　代入すると


05

２ｘ+ｙ＝０

一般形

みなれたかたちにすれば

ｙ＝−２ｘ



06

(2)は

直線➀と　直線�Aが

ソレゾレ

定点を　通ることを

しめせ


また


➀�Aが　直交する

aの値を　求めよ

定点を　通るときの　公式は

赤鉛筆のところ



07

定点を　通るならば

ｆ（ｘ、ｙ）＋　ｋ　ｇ（ｘ、ｙ）　の形に

変形でき


その時の　定点は　ｆ（ｘ、ｙ）＝０

と　ｇ（ｘ、ｙ）＝０　の

交点になるので


08

➀から


一般形に　なおして

変化する　aで　くくって


09

ｆ（ｘ、ｙ）　ｇ（ｘ、ｙ）　を

こんな感じに　考えると

交点は　（−１，０）


10

で

�Aのほうへ



11

展開して

整理して

さっきと　同じ要領で

この

出てきた　2本の　直線の　方程式の

交点が　定点になる


12

yは



13

ｘは


それで

定点は



14

➀�Aの　直線が

直交するとき

aの値を

求めよ


➀�Aの直線を

それぞれ

傾きの　分かる形にして


➀は　そのままでオッケイ

�Aを　傾きの　分かる形にして


15

直交してるならば

傾きを　掛け合わせると

-1であるから

とうごうの　左右を



たすきにかけて


16
aは　これ


17

2直線があってですよ

その交点を　通り

ｙ＝ｘに　平行な　直線と

ｙ＝ｘに　垂直な　直線の

方程式を　求めよ


今までは

直線の　交点を　もとめて

傾きと　交点から



今回は


2直線の　交点を　通る

直線群の方程式を　作り



18

展開して

整理して


19

直線群の方程式のまま

傾きの　分かる形にして



20

この　直線群の中から

傾きが

ｙ＝ｘ　と　同じ時

１　（平行　）


それに対して　


（垂直な　）−１の時


の

実数ｋの値を

求め


ソレゾレ

直線群の　方程式に

平行の時

垂直の時の

ｋ　の値を

代入したらば


求める　直線の　方程式だけが

直線群の　中から出てくると



21

まず　ｙ＝ｘ　と　平行時

傾きは　1だから


22

ｋ＝−7/2


23
これを

直線群の方程式に代入して


ｘ−ｙ＝３





24

垂直な時は

傾きが

ｙ＝ｘに対して　垂直だから

−１


25

ｋ＝１/4



26
直線群の方程式に代入して

求める直線が


出て来ました

ｘ+ｙ＝３



27

問題を

読んでいただいて


28

直線の方程式を

傾きのわかる形から

一般形に　なおして


2直線の交点を通る

直線群の方程式にして



29

これうまくいくんかな〜

なとき

研究は　答えを　知らないので

神様に　聞かないと　だめですが


問題は　作者がいるので

解けるように　できている


だから

問題を　すらすら解けても

研究活動となると

そうは問屋が卸さず


研究には　お金と時間
が
かかるんです



30



展開して

整理して

傾きのわかる形にして

これがさ

aになるんだから


31

ｋ＝１


32

これを

このkをですよ

直線群の方程式に

代入すればいいじゃナイスカ

これです

え　かっこ２を　忘れてる

？


あ　やい切片が　1だから

傾きが　変わっても

ｙせっぺんが　１

ここが　定点



33
次は

問題文を

読んでいただいて



34

作図してきますとですよ

で

座標を　設定シテ

じゃナイスカ



35

条件も　確認して

一周が　２ｋ

で　一定


まず　直線ABの方程式の

傾き　


それに　垂直な傾きだから


36


そして

点P（a,b）を　通るんだから

で

出てきた　直線が

定点を　通ることを

示すわけで


条件を　使って



37

式を　平らにして

条件を

代入すると


38


ここから

定点を　通るを　いうためには


ｆ（ｘ、ｙ）+ｋ　ｇ（ｘ、ｙ）＝０　の形にできれば


ｆ（ｘ、ｙ）＝０と

ｇ（ｘ、ｙ）＝０の

交点が　定点になるので


K　は　定数

aは　領域のある　変数


39

公式の形に

持ち込んで


40

ここを

通ります




お疲れ様です。








（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）