2020年11月15日
08017 大人のさび落とし 図形と方程式 円と直線
図形と方程 円と直線
01
円と 直線が
2点で 交わる場合
接してるときは 一点なので
重解
異なる 2実解 の時は
判別式 0より 大
D ＞ ０
それと 異なる 2点を 結んだ
弦の長さについて
直線と 円の「方程式から
ｙを 消去した
ｘ の 2次関数にして
二っの交点（ｘ、ｙ） 座標を
ｘ、ｙ の ｙの方を
ｙ＝ 何鱈(なんたらｘ + 蜂（びー）
なので
ｘ１ 、何鱈(なんたらｘ１ + 蜂（びー）
ｘ２ 、何鱈(なんたらｘ２ + 蜂（びー）
ダイジョカナ 当て字だからさ
これを 踏まえて
問題を 読んでいただいて
02
まず
直線と 円の 方程式から
ｙ を 消去する形に
ｘの 2次関数にして
03
この式の
解が 交点だけど
異なる 2点で 交わるのだから
D ＞ ０
04
ｋのあたいは
05
ここ
06
図の 一番上の ｙ切片と
一番下の ｙ切片は
丁度 直線が 円に 接するときなので
そこを 含まず
下から 上まで
07
弦の 長さが
2の時は
まず 弦の長さは
2点P,Q を
こんな感じに 設定して
2点間の距離の公式
08
ｘ と ｙと
二つ づつ 入ってるので
直線上の 点でもあるから
直線の方程式を
使って
2つの ｙ 座標を
ｘの 1次式にするでしょ
09
2点を 二組の ｘ座標で
表したものを
展開 整理すると
10
ずいぶんと 簡単に
11
この ｘ１ 、ｘ２は
点P 、Q の それぞれの ｘ座標
で
円と 直線の
方程式から
交わりを 求めたときの
解であるので
解と 係数の 関係は
こんなだったから
12
この 二つの 解を 足したものと
この二つの解を かけたものは
だったですよね
だったじゃナイスカ
これを 使って
式の 値を 求めると
13
文字の まま 計算してくでしょ
14
これがね
＝２ になるんだから
15
辺々 2乗して
16
ｋはさ
コレダよ
17
2本 出てくる
交点の 座標を 求めたければ
ｋを 含んだ ｘの 2次方程式の
解が ｘ１ 、ｘ２ なので
そこから
直線の 式に ｘ１、ｘ２ を 代入すれば
出て来ますが
今回は
そこまでは しなくていいので
18
類題
19
交わるときは
連立方程式から
式を 一本化 して
判別式
20
これを整理すれば
21
条件は こんな感じで
22
具体的に
a,b,kが 出てきたので
代入してみると
確かに
満たしてますよ
で
弦の長さは
23
今回は 直線が y切片の 分かっていて
動かないので
交点を 求めれば 交点が
二つ出て来て
ソレゾレ ｙ 座標も 求めれば
2点間の 距離でも 出せるのだけれど
計算が 長くなって
ミスする可能性が 高いので
やはり 解と係数の関係を使って
24
まずは 普通に 交点を
求める感じに
弦の 両端を
α 、 β とすると
P(α、 α+4 ）
Q（β、 β+4）
二点間の 距離の公式で
25
整理すると
こんな感じで
26
ここで
解と係数の関係を 使って
式の
値を 計算して
27
値が 出そろったら
代入して
28
答えは ２
ラストは
証明問題
読んでいただいて
29
まず こんな感じで
ソレゾレ
OP OQを
求めると
2点間の 距離
30
式を 変形して
直線の 方程式から
ｙを消去して
31
係数で ｍ は 入ってるものの
ｘ１と ｘ２ だけの
式にして
32
ここまで来たら
例のごとく
解と係数の関係に
持ち込んで
33
交点が ｘ１、ｘ２
なので
34
解と係数の関係から
ｘ１・ｘ２＝ が でてきて
代入したらば
整数
変数が 入ってない
つまり 一定
OP・OQ＝ 一定
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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