2021年03月26日
28004 大人のさび落とし 複素数とベクトル 分点
複素数とベクトル 分点
複素数と ベクトル 分点
01
複素数 ｚ１ ｚ２ が与えられて
いて
複素平面上で
ｚ１ ：P1 ｚ２ ：P2
とする時に
線分P1P2
を 表す 数（複素数）は
どんな数になるか
三角形の 頂点が z1、z2、z3 で
与えられたとき
ｚ１：P1 ｚ２：P2 ｚ３：P3
とすれば
三角形 P1 P2 P3
の重心は どんな数 （複素数） になるか
02
二つの 複素数を
まず こんな感じにするじゃナイスカ
ｘｙ 座標に 書くときは
実部を ｘ 座標 、 虚部を ｙ 座標
と言う約束なので（ 複素平面 ）
03
P1 P2 を こんな感じに
するでしょ
原点O との関係で
位置ベクトルの 分点座標
でも 出るのですが
座標が 分かってるので
04
座標の性質を 使って
ｘ座標 （ 実部 ）
ｙ座標 （ 虚部 ）
ごとに 中点の 座標を 求めて
複素数の 形に 入れると
05
こんな感じで
06
これを 整理したらば
こうだよ
07
だからにして
三角形の 重心も
座標ごとに
実部 虚部 で 計算すればさ
08
こうなんだからさ
09
代入して
展開して
まとめて
10
なるでしょ
11
一般に
分点座標は
分点ベクトル の計算の様に
座標の 性質を 使って
12
代入して
整理して
まとめると
こんな感じになる
13
ここから わすれてると
急に 足がたたなくなり
アップアップ
ｚ１ ｚ２ を 結ぶ 線分上の 点を
ｚ とすれば
この この方程式 が成り立つことを
証明せよ
あったじゃナイスカ
ベクトル方程式
14
複素平面に 変わっただけだからさ
15
このベクトル方程式の表すところは
OA=a ベクトル OB=bベクトル
の 二点 A,B を 通る 直線の
方程式で
ｔ に 制限があるときは 線分になる
16
今回 ｔ に 制限がかかっていて
０以上 ｔ 1以下
これは 線分
しかも 二点 Z1 Z2 間
Z1 Z2 含む線分になる
17
Z1 から Z2 までを １として
その間を ｔ: １－ｔ
に分ける 点が
ｔの値と共に
動く
のだから
その軌跡は 線分になると
18
ねねね
だぁーからね
実部と 虚部を
ソレゾレ
ｔ：１－ｔ に 分点座標
Z＝ に 複素数 に代入したらば
19
分母は ｔ が消えて
1になって
ソレゾレ 展開して
まとめて
20
なったじゃナイスカ
21
今度は もう少し
考えよう
ちょっと～ いいですか
これも 形は ベクトル方程式
なんだけど
さっきと 書き方が 違う
22
この ベクトル方程式の方は
ｍ+ｎ=1 のとき は
さっきと同じ
A,B を 通る 直線になり
ｍ+ｎ＝１
かつ ｍが 0以上 、ｎが 0以上
の時は 二点
AB間の 線分になる（ 点A 点B 含む）
23
問題は ｍ+ｎ=2 のとき
図のように 原点からの a,b
ベクトルの 距離が ２倍になる
そこへ
ｍ、 ｎ が ０以上なので
A' 、B' 間の 線分になる
24
ｍ+ｎ＝１ のときは
どちらも
同じ意味に 成るでしょ
（ 分点ベクトル ）
25
くどいようですが
こんな感じに
まとめておきます
26
これらを 踏まえて
線分の 方程式で
出ているんですが
線分の 位置ベクトル と言うカナ
１から ２ まで
変わるでしょ
1の ときは
ｚ１から ｚ２までの線分
27
a+b＝２の ときは
位置ベクトルが
2倍に 伸びた感じで
28
さっきのと 合わせて
こんな感じかな
29
それで
答えは 台形 になるのだけれど
その過程を 作りだす
一本 一本 の 線分の
方程式は
こういうものがあるとですよ
30
今回の 問題に
当てはめると
こんな感じに なって
31
K=１ の時は
そのまま
K=2 のときは
32
この 式の K に ２が
入るんだから
33
こんな感じに なる
ベクトルは 2倍に 伸びてるの
分かりますか
で
ベクトルの 前の 係数は
両方を 足すと １ になる
つまり
ｚ１’ ｚ２’ 間を 1として
a/2 : b/2
に 内分する 点の軌跡
34
a+b=ｋ
ｋ が 1より大きく 2未満
の時は
図の 上と 下の 間にある
線分
35
だから
台形に 成る
36
分かり ずらいかった ですか
やだ だった
日本語 まじめにやらんといかんですか
37
ｍ+ｎ ＝１ の時
直線を 表すにですが
赤いところが 内分領域
黒いところが 外分領域
38
この ベクトル方程式は
おぼえてないと 苦労するので
ベクトル の アームが 伸びる感じ
39
外分って こんな感じだからさ
40
係数 和が 1になる
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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