2021年03月15日
28003 複素数の加法・減法 大人のさび落とし 旧数２ 訂正あり ㉞ ㊱
複素数の加法・減法
01
絶対値の 不等式があるのですが
たまに これが 出てくると
これ どう言う 意味？
分かんないのは ～
～ は 大きさの 差
A が おおきいか Bが 大きいかは
分からないけど
A絶対値 ～ B絶対値
は
大きい方から 小さい方を 引いた 差
それを 踏まえまして
問題
02
それで
複素数と言うものは
こんなぁ 感じだったので
03
二つの 複素数を
こんな感じに してみると
不等式の
左 中央 右
のそれぞれの 意味は
04
それで
複素数を ｘｙ 平面上に
対応させる 方法が
あったじゃナイスカね
複素平面 （ガウス平面）
複素数の 実部を ｘ軸
複素数の 虚部を ｙ軸
に対応させて
その点を Pとして
原点との 位置ベクトルにして
ベクトルで 計算する
平行四辺形にして
05
Zの 絶対値と言うのは
OPベクトル の事になるので
06
P1 P2 P3 として
平行四辺形で 考えると
O P1 P2 P3 が 平行四辺形になるとき
07
三角形 O P1 P3 で 考えると
三角形の
2辺の和・差 と 第三辺の関係から
08
こういうのがあったじゃナイスカ
OP3を 第三辺として
二辺の和・差と にすると
09
中央が 第三辺
左が 二辺の差 右が 二辺の和
10
ところが
複素平面上で
位置ベクトルを
複素数に 置き換えると
不等式の 概形が
11
どうしてなんだの時
視覚的には
こんなかな
12
等号に なるときは
ベクトルが
一直線上に なるときで
同じ向き の時
と
反対向き の時
13
全部 場合を 合わせると
不等式の 出来上がり
14
複素平面上に
点P(z1) 、 点Q（ｚ２）
が 与えられている
次の 点を 求めよ （１）～（４）
15
（１）
位置ベクトル で考えると
OP ベクトル OQ ベクトルの
分点ベクトル になっていて
中点は 1：1
に分けるわけで
これは 中点の公式 そのままだから
中点の 位置ベクトルの
矢印の先端は
PQの 中点になる
16
（２）
これも 位置ベクトルの
分点ベクトルを 使って
その 矢印の 先端で
考えるのですが
点Qと 反対側に 原点に対象に 点Q’を
取れば
OP と OQ’の 分点ベクトル
中点と 考えて
こんな感じ
17
（３）
次も
さっきみたいに Q'を 使って
考えれば
分点ベクトル
中点 なのですが
複素数のバー のついたもののあつかは
共役複素数になるので
実軸を はさんで
対称なところに
R にしてしまいましたが
18
後は 中点を 分点ベクトルで
だして
矢印の 先端
19
(4)は どうかなと
通分して
－２ｚ２を
ひと塊で
Qと反対方向に 原点を挟んで
Qとの 2倍の距離に Q"（ｚ２”）
として
中点で 考えると
矢印の 先端
20
複素平面上に 三角形があって
さらに
その三角形の それぞれの 頂点に
ｚを たした 三角形を
作ると
元の三角形と
どんな関係に 成ってますかと
21
題意を 図にしていくと
三角形 ｚ１、ｚ２、ｚ３
と ｚ
位置ベクトルで
足し算して
22
ｚ１、ｚ２、ｚ３ を P,Q R
ｚをｓ
として
新しくできる
三角形を
t u v
とすれば
23
三角形 PQR
と
三角形 TUV
で
位置ベクトルを 使って
それぞれの 三角形の 辺を ベクトル
表示することを
考えると
それぞれの 頂点は
三角形 PQRは
OP OQ OR
24
三角形TUV
の方は
それぞれの
頂点の 位置ベクトルが
OP+OS OQ+OS OR+OS
25
三角形の それぞれの 3辺を
ベクトルにすると
三角形PQR の方は
こんな感じ
26
三角形TUVの TUは PQと同じ
27
三角形TUVの UVは ORと同じ
28
三角形TUVの VTは RPと同じ
29
ということは
元の三角形を
OZ方向に 絶対値Z だけ
平行移動した関係
30
問題を 読んでいただいて
31
まず ｘα + ｙβ の形は
どんな感じかと言うと
方向と 大きさの 違う 二つの ベクトルがあれば
ｍα + ｎβ で 平面上の 全ての 点が 表せる
平行四辺形になるのだけれど
32
二つの ベクトルの 前の
変数を 変化させると
平行四辺形の
内部 および 周上を
びっしり くまなく 埋めつくすので
α + β を 対角線にもつ
平行四辺形の 面積
33
なので
赤い部分が 最大に なるとき
34
と言うのは
α 、β は 動くので
平行四辺形の 面積が変わる
訂正 ↓
35
題意に α 、βは 絶対値１を
保ちながら
動くとあるので
複素数の 絶対とは
複素平面上では
Oα 、Oβ
なのであるから
平行四辺形の
隣辺 が １
の 平行四辺形で
36
平行四辺形の 面積で
三角形の 面積の 2倍を 使うと
図の部分を ∠ Θ
にすれば
面積Sは
・・・・・・
計算すると
訂正 ↓
37
sin Θ
サインΘが 最大になるのは
π/2
の時
面積の最大値は 1
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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