スローライフの森　数１　＆　自家菜園

28008 複素数とベクトル

回転


01


任意の　複素数　Z　a+bi

を　点　P　で表す


Z1　＝　cosΘ　+　i　sinΘ

とし

Zを　任意の　複素数とする時

Z・Z1　を　表す　点　Qは

Zを表す点　を　原点　周りに

Θ　だけ　回転した　点であることを

証明せよ

02


原点周りで

複素数　Zに　


Z1を　かけると

Z・Z1は　


Zを　原点周りに　Θ　回転させたもの

に

なる

ということなのですが


まず　極形式に　揃えないと

都合が悪いので


Zの　偏角と　座標が　任意なので


一般的な　形にしてじゃナイスカ



03

こんな感じに　成るでしょ

これを　掛け合わせると

こうなるんですよ

公式



04

なんでかは？


掛け合わせっるでしょ

展開


整理して


実部　虚部　に分けて


ソレゾレ

コサイン　　サイン　の　加法定理で

変形すると

こうですよ


05

今のは　

一般的なものだったから



今回の問題では

こうでしょ


06



ナタメ

x軸　と　なす角が　一番大きいところ　Z・Z1

角　XOQ　＝　α+θ

2番目に大きいところ　　Z

角　XOP　＝　α


3番目が　

角　X　O Z1　　＝Θ　　　Z１





07

一呼吸

極形式は　偏角

絶対値　





08

まず

変換後の　絶対値　の長さは」　

同じ

OQ=OP=ｒ


09

OPから　OQに　回転したのだから

偏角の差は

Θ


10

というわけで

任意の　複素数　Zに　


Z1を　かけたものは

Zを（　Zを表す点Pを　）

原点周りに

Θ　だけ　回転したものになる




11

まとめると

こうですよね


12


絶対値が　等しくて


偏角が　こう変わってると


13

ここで

もし

複素数　Z　は　そのままに

Z1が　i　だったら


極形式は

絶対値が　今回は　１


偏角は

複素平面上の　座標から　読み取ると

90度　π/2



14

そうすると

さっきみたいに

掛け算を　すると


Zに　Z1を　かけた後の　絶対値は

変わらない

偏角が　増えている


これは　原点周りに

Zを　90ど　回転した形



15

さらに

今度は

Z

かける


Z1

で

Z1の　絶対値が　ｒ１だったらば

まずは　掛け算


16

偏角は　Z1と同じだけ

回転していて


OP　から　OQに　回転するのに

Θだけ　回転している


絶対値の方は

ｒが　ｒｒ１

になっていて


ｒ１倍に　成っている

二つの　三角形の相似から　比の値で


17

それで

偏角　に関しては

掛け算は（乗法）こんな　感じ



18

割り算は　（除法）



19


こんな感じで


20

こういった感じに


21

計算問題

次の点と　Z　との　位置関係を　いえ


まず　Zの　極形式を

一般的な形に　と　しておいて


分母の　i

を　こう考えると



極形式に直せば

絶対値が　１　偏角が　９０ど


22

分母を　有理化の様に



23


ここは　加法　定理を

使って

やっていきましたが


24


結果を見れば

除法の　公式を　使えば

一発

だったと　分かるでしょ



25

図に書けば　こんな感じですか




26

次は

分子の　√２は　ちょっと置いといて



分母を極形式に直したらば



27

√　2が　消えて



28



除法の公式から

こんな感じ


29

これも　消えるのかな

分母を

極形式に　なおして


30

あー

やっぱり

うんまく　できてますね


31

こんな感じだけど



32

コレダと　分かりづらいから


こんな感じで


33

次の　式を　証明せよ

読んでいただいて




34



まず　　Z　（P)を　Θ　回転するのだけれど


赤い　平行四辺形を考えて

ぴーぜろ　ピー


を　原点まで

平行移動して

OQとするでしょ


35

OQは　平行四辺形の　大変で

ぴーぜろ　ピー　と　等しいので


ベクトルは「　平行移動して　考えていい　」

これは　重要なとこですよ


ぴーぜろ　ピー　は　Z-α




36

OQを　原点周りに

Θ　だけ　回転した点を

Q'とすれば


Θ　回転するのは　cosΘ　+　i　sinΘ


OQは　Z-α
　

だから


37

次に　この赤い　平行四辺形で　考えると



OQ'=　Z'-α

なので



38


ピーゼロ　ぴーを

ピーゼロ　ぴーダッシュ


に　持って行った

点Z'　は

Z'　　＝　α　+　（Z-α）（cosΘ　+　i　sinΘ　）


よって

Z'-α＝　（Z-α）（cosΘ　+　i　sinΘ　）


39

ラストは

複素平面上に

正方形　ABCD　がある

点A,Bの　表す　複素数が

ソレゾレ　α　、　β　であるとき


点　C　、D　の表す　複素数を　求めよ



40


まず　正方形の　C　について

BAを　プラス・マイナス　９０ど　

回転　した場所が考えらるるので


回転を　使いたいので

Bを　原点に　平行移動して




BAベクトルは
　
α-β　になるので


（ベクトルは　平行どうして　考えてよい　）


B'A'　ベクトル　

B'を　原点に　平行移動したから


OA'ベクトルは

α-β





41
プラス・マイナス　90度の

回転を　掛け算で


複素数の　回転



42

C
の場所が　二つ　考えられて


C’

C''



43

で

この回転したものを

元の　位置まで

平行移動すると

点Bの　表す　複素数は　β　であるので

点Cは　β　プラス・マイナス　（α-β）i


44

同様に　点Dも

今度は　点Aを　原点に　平行移動して


45

ABベクトルは　β-α　であるので


46

プラス・マイナス回転させたときの

Dを　D'　、D''を　計算して

元の　位置に　平行移動すれば


47

まとめまして

こんな感じで


（α　、β　は　複素数）



お疲れ様です。



（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）