2021年05月17日
28009 複素数とベクトル 偏角（１）
複素数とベクトル 偏角（１)
01
偏角を やる前に
ここまでの 復習から
複素数は a+bi
のような形と
ｚ＝ｒ（cos Θ + i sin Θ）
の様な 極形式
ここで 出てくる 角Θ が 偏角
02
掛け算(乗法） の時は
P2 を P1の偏角分 回転させる形
偏角は 二つの 掛け合わせる 複素数の
偏角を 足し合わせた形
絶対値は
それぞれの 絶対値を かけた形
03
複素数の 割り算(除法)は
分子側の 偏角から 分母側の 偏角を
引いた形
04
ところで
分母 分子が 入れ替わってるときは
どうなるか
05
分子 の方が 上側の時
06
偏角は こんな感じに
計算してきますが
07
赤四角を クローズアップすると
角度の 違いが あっても
分子 ― 分母の 分子が 上側の角だと
結果は プラス 偏角
08
こんな感じに
09
なるのですが
10
今度は
分子 - 分母 で
分子が 下側の 角の時
11
この赤枠を
クローズアップすると
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角度の 違いがあるときも
13
偏角は マイナスで
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出てくるんですよ
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というわけで
一つの問題で
たとえば 三角形が
あります
とだけあると
偏角は プラス マイナス で出てくる
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それを 踏まえ
問題行ってみましょう
ここからですよ
17
まず
分母 分子が
何をあらわしてるか
位置ベクトルで考えると
AB 分の AC
18
これを 原点に 平行移動して
偏角を 考えるに
2辺の 偏角 の 差が 偏角になり
今回 題意より
ABCは 正三角形なので
各頂点は 60度
π/3
というわけで
三角形の 設定の仕方で
偏角は プラスマイナス π/3
19
偏角が プラスマイナス π/3 で
絶対値が １
辺の長さが 3辺とも 等しいですから
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絶対値と 偏角 が わかれば
極形式が 求まるので
21
除法の 極形式は こんなで
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三角形の 比の値から
サイン コサイン の 負角の公式から
値を 代入したら
左辺 ＝ こんな感じで
証明終わり
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Z=x+yi
として
軌跡を 求めると
絶対値が 1であるから
絶対値を 辺々 2乗して
24
これは 原点中心の 半径1の円
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複素数 Z- 2 は ２を α
Z - 2 の Zを P とすれば
ベクトルは αP ベクトルなので
偏角は
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α 周りに ｘ軸の 正の方向と なす角 であるので
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偏角の 範囲は こうです
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問題を 読んでいただいて
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題から 図を 起してくると
こんな感じの
それで
偏角なんですが
ぶんぼ ぶんし で
ぶんし マイナス ぶんぼ
分子側が 引かれる 方か
引く 方か
で
プラスマイナス が出てくるので
30
題意の三角形は
直角２等辺三角形 ナタメ
偏角は プラスマイナス π/4
45度
α分の β
で
絶対値を 計算すれば √２
31
絶対値 と 偏角がでれば
極形式は
こうでしょ
32
これを 計算すると こんな感じ
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一見 プラスマイナスがあるので
まずい 感じが しますが
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式変形してから
辺々 2乗すると
左辺
右辺
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うまくできていますよね
なったデショ
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逆に
これが 言える ならば
αは ゼロでないので
2乗して
辺々 α2乗で 割る
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置き換えを 使って
38
α分のβは １プラスマイナス i
39
この複素数の 絶対値は √２
偏角の値は １プラスマイナス i
になるので
これを
複素平面上で
偏角を 見れば
プラスマイナス π/4
45度
40
β ＝ √2α
41
偏角の 位置と 辺の比の値を
見ると
42
直角2等辺三角形 になる
なので
必要十分である
ラストは
43
三角形の 形は 見えてないですが
因数分解してくと
まず 整理して
Z3 で 整理するでしょ
44
解の公式を
いいんかな
45
だいじょかや
46
おー
見えてきた
47
複素数が プラスマイナス √３i
絶対値が √３
48
複素平面に 複素数を プロット して
偏角は
プラスマイナス π/2
90度
49
分母 分子の 辺は
分母 BA 分子 BC
50
偏角と 辺の 位置関係
絶対値から
辺の比を
出してきてものを じゃナイスカ
51
こうですよ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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