2021年05月26日
28010 複素数とベクトル 偏角（２）大人のさび落とし
複素数とベクトル 偏角（２）
01
問題を 読んでいただいて
円周上に 4点があって
それぞれの 3っつも 同一直線上に
無いように
4点が 円周上に あるには
次の 条件が 実数に なることを 示しなさい
という感じなんですが
02
同じ弦の 円周角は 等しい
円に 内接する 四角形の
対角の和は 180°
これらを使って 条件式を 作ると
まず 円周角を使って
03
➀ 式
次に
②式
04
これらを 偏角を 使って
表現すると
ベクトルの 引き算とか を
かんがえながら
05
➀から
公式に 当てはめると
こんな感じに 成るので
06
式変形して
こんな感じに
②の方も
07
偏角の 向きを 考慮して
こんな感じなので
08
式変形した 2つの 式を 見て
さらに
まとめあげると
09
これは この 複素数の 偏角が ゼロ または プラスマイナス パイ
偏角の arg
を 外すと 複素数なので
整理して
ここから いつもの 形 や 極形式
を 考えると
10
絶対値を r
とすれば ゼロではないから
11
極形式の コサイン サインを 偏角で 見ると
サイン側は ゼロ（ 虚数部は ゼロ）
実部 こさいん側は プラスマイナス １
12
計算した 複素数 全体を Z
とすれば
Zは 実数になっている
なので
4点が それぞれ その 3っつも
同一直線上にはなく
同一 円周上 にあるには
4つの 複素数に対し 条件式が 実数であることである
13
今度は 相異なる 3点が 同一
直線状に あるとき
次の 式は どんな数になるか
14
ベクトルで
向きを 考え
偏角を 見ると
ゼロ または パイ
15
絶対値を r とすれば
ｒは ゼロでは ないので
極形式の 偏角を 今度 見ると
16
実数部 コサイン側は プラスマイナス 1
虚数部 サイン側は 0
ナタメ
ゼロではない 実数になる
17
今度は 4つの 複素数があって
ｚ１ ｚ２ を 結ぶ 直線と
ｚ３ ｚ４ を 結ぶ 直線が
直交するとき
次の 式 純虚数になることを 示せ
角の 向きで
プラスマイナスがあるから
18
偏角で 表現すると
これが プラスマイナス 90° （プラスマイナス パイ/2）
になるのだから
19
極形式の 実部は ゼロ
極形式の 虚部は プラスマイナス 1
20
Z＝ a + bi の形にすれば
条件の 複素数は プラスマイナス ri
で 純虚数になる
21
問題を 読んでいただいて
22
作図してみると
こんな感じ
23
そこで
座標軸を こんな感じに 取ると
24
複素平面に 対応させて 考えて
E と G は まだ 成分が 分からないので
偏角を 使って
正方形に 成ってる とこを 利用すると
偏角と 絶対地 が分かれば
極形式
25
こんな感じで
26
何の 為にやったかと言うと
ここから 変形して
Ze
27
同じようにして
もう一つの 正方形からも
G は まだ 成分が 分からないので
偏角を 使って
正方形に 成ってる とこを 利用すると
偏角と 絶対地 が分かれば
極形式
28
Zgは
29
それで
CE と BG
の偏角が 90度を 言えばいいのだから
下準備をして
30
BG CE
を 複素数で 表して
31
偏角を 計算すると
32
ここは 複素数の 計算で
分母を 有理化の時の様な 感じに
33
分子にも 掛かってくるので
計算して
34
分母 分子 合わせて
iだね
複素平面で i
の 偏角は 90°
35
分母 分子 それぞれ 絶対値を 計算したら
36
大きさが等しい
なので
CE ＝ BG 、 BG ⊥ CE
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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