複素数と　ベクトル　軌跡　大人のさび落とし28011: スローライフの森　数１　＆　自家菜園

2021年07月01日

複素数と　ベクトル　軌跡　大人のさび落とし28011

複素数とベクトル　軌跡

01

問題

複素数　Z　があって

Zを　使って　ω　と言う　複素数　を　

表す　点　Qが　あるのですが

Qは　どんな　線上を　動くか　の様な問題です

02

題意から　Zは　原点中心に　半径　１の円周上にあり

原点から　Zまで　の　アームの　距離が

変わらないので

絶対値　Z　＝１

03

オメガの式を　

平らにして　展開して

今度は　Zで　くくれるとこを

じゃナイスカ

Zの式にするでしょ

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こんな感じにですよ

絶対値が　１だから

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こんな感じになったんだけど

E(1)　　A(i)　とすれば

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複素平面上では

この　長さが　ひとしい

ということになるから

オメガは　AE　の　⊥　二等分線

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同じ問題なんですが

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今度は　角度を変えて

ゼット　・　ゼットバー　＝　絶対値　Z　の　2乗

を　使うと

Zの絶対値が　1なのだから　

Zの絶対値の2乗も　１

Zの　絶対値の　2乗の　値が　分かってれば

ゼット　・　ゼットバー　＝　絶対値　Z　の　2乗

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オメガを　Zで　表すのは

さっきと同じ

10

ここから

11

Zの　値が　分かったところで

Ｚばー　を　求めると

実数部分は　バー　にしたとき　変わらない

虚数部分が　バー　にしたとき　変わるので

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結局　こんな感じ

ゼット　・　ゼットバー　＝　１　なので

掛け合わせるでしょ

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これが　１　になる

展開して

消去して

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実数部　虚数部　にして

Z＝a+bi

を

使っちゃったから

オメガ　ω＝　U+Vi　にすると

オメガ　　　　オメガ・バー　　は

こんなだから

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これを　代入したらば

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整理すると

で　これは　複素平面で

X軸　Y軸

を　

U軸　V軸　としただけなので

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こういった　直線になるよ

と　さっきと　違う表現ですが

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三角関数は

苦手　意識を　持ってる人が多いんだって

近昔

まだ生きてらっしゃいますが

スリーパーホールドの　得意な

レスラーが

技を　かけたときに　耳元で

難しい物理の　公式かなんかを　ささやくっと

相手は　うっかり　ん？？　

シマッタじゃナイスカ

技が　食い込んじゃう

三角関数攻撃

墓穴　を　掘ってしまわぬよう　

きおつけてね

公式を　忘れちゃったりして

あ

あ～～＾

ダメだ

冗談は兎も角

Θ　が変数の時

Zの　軌跡は？

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Z=の形に　したいのだけれど

何とかなってくれ

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二次方程式だから

解の公式とかさ

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三角関数の　公式をデショ

あ　虚数に

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うまくできてるなぁー

極形式になって出て来て

Z=a-bi　の時もさ

a二乗　(-b)二乗　だからさ

Zの　絶対値が　１これは何か

複素平面上に　単位円

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試験では　ないので

ここで　コーヒーブレイク

砂糖は　

もどって

問題

複素平面上で

複素数　Z が　ある三角形の

周上を動くとき

その　複素数Zを使った　式に　より　

表される　点オメガは

どんな図形に　成るか　みたいな　感じの

問題です

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先ず　準備をして

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オメガは　こんな感じに　成るんですが

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オメガの　実部　虚部　ヲ　こんな感じにしておいて

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Zが　OA上にあるときは

ｙ＝0だから

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オメガの式が　簡単になって

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ω＝U+Viの

Uは　実部の座標　　　Vは虚部の座標であるので

虚部は　0のまま

実部は　ｘが　0から1まで　変わる間に

Uは　1　から　3　まで　変わる
(訂正　　 uが　0以上　3以下　は　間違い　）

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複素平面上の

オメガは　こんな感じ

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Zが　AB上を　動くとき

X=1　ｙは　0から1まで

x=1を
代入すると　式が　簡単になって

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ｙだけの式になったけれども

（ｘ）、ｙは　Zの　パラメーターなので

ｙを　消去して

U　と　V　の関係式にすると

33

整理して

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Vは　３ｙであるので

Vは　0から　3まで　変化する

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Vの値を　変えながら

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概形を　見ていくと

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Vを　0から　3まで　１刻みで

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こんな感じで

それにしても　時代は　変わりましたね

私の　学生の頃は

インターネットが　まだ　整備されなくて

パソコンも　8ビット

記憶装置は　カセットテープ

ロード　や　セーブ　に　

30分も　1時間もかかってしまった時代

K＝０

for k= 1 to 10 sutep 1

K　=　K+１　

next k

こんな感じの　言語を　使ってましたが

イマハ　もっと高度なことを

アプリを　使うんですかね？

小学生の頃から

授業があるんだってね

時代は　かわったな

さびし～～～

盆栽でも　やるかな。

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昔を　思い出しちゃうとですよ

最近　いけなくなっちゃうんだね

で

最後は　OB　上を　Zが動く時

OBは　ありがたいことに　

X=Y　の　直線になるので

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X=Yを　代入して

Yを消去して

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U　V　だけの　式に　なるよう

Xを　消去すると

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Uは　1から　２まで

変わるので

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適当に　間隔を　置いて

値を　代入したらば

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こんな感じで

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こんな図形になる

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某　国営放送局の　アナウンサーの

大越さん退職されるんですか

ファンだったんですが

おれ　ひとつ　しか　違わないよ

俺は　こどもだなぁ～

来年は　赤い　寅　なのに

デーモンさんなら　10万５９歳

と言うところ

わたくしは

20歳468ケ月　

　（　阿刀田　高　さんの　ショートショートから　）

で

出じゃナイスカ

問題

読んでいただいて

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先ず
　
形式上
　

実数になるから

こんな感じにして

複素数を　ｘ+　yi

で　代入すると

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分母の計算

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有理化の　要領で

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分母は　０　では　ないので

条件が　２つ　出て来て

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分子の計算

実数に　なる様に　変化するとあるので

虚部は　ゼロ

赤く　掛け合わせた　ところが　

虚部になるので

虚部だけ　書きだすと

これがさ　＝０　だからさ

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こういうことなんだね

展開して　整理すると

これはさ

あれだ

円の方程式

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複素平面で　（ｘ、ｙ）＝（1,1）

半径　√２

分母の　条件から　Z=2は　含まない

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コレダよ

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これは　別解があるって

=K
　
Kは　実数と置いて

極形式に　変形する

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分母から　有理かみたいに　

で

ここまで　持ってきたら

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右辺を　変形して行くと

有理化の要領で

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括弧の中は

ある複素数になってるので

複素平面に　書いてみると

偏角は　マイナス　45度

マイナス　4　分の　パイ

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この　偏角を　表す　角度は

APO

Aと　Oが　固定で　　Pが動く

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偏角は　同じ値を　保ってることになるので

Kが０より　おおきい時

これは　OAを　弦にした　円周角　上側

ｋ＝０の時は　原点

　
ｋが　０より小さいときは

2分のｋは　アームの長さなので

絶対値を付け

PがOAの　下側の時は

偏角が　4分の3パイになるので

OAを弦の両端とする

角OPAが　4分のパイに　なるような　円の　円周上を

動く

ただし　点　２を　のぞく