2021年07月04日
28012 大人のさび落とし 複素数とベクトル ド・モアブルの定理（１）
複素数とベクトル ド・モアブルの定理（１）
01
複素数を 極形式で
表しているときに
複素数の べき は
こんな感じに 成るんですよ
と 昔 昔
ド・モアブル という人が 発見
したんだそうで
02
普通の a+bi の 書き方を
極形式に 変換するでしょ
アーム の長さ
絶対値
と
コサイン サイン
共に 等しい
偏角
03
極形式に しておいて
複素数の 積は
実部 虚部 になる様に
展開して
整理して
04
加法定理を 使うと
サインの方は
シン・コス ぷらまい コス・シン
コサインの方は
コス・コス まいぷら シン・シン
おまけで
タンジェントは
タン ぷらまい タン
スラッシュ
いち マイプラ タン タン
05
実部は コサイン
虚部は サイン
偏角は 共に Θ１ + Θ２
06
これが 複素数の 積なのだから
今度は（Θ１ + Θ２） と Θ３で
書ければ
07
偏角は
コサイン（Θ１+Θ２+Θ３）+ i サイン（Θ１+Θ２+Θ３）
これを Θ１+Θ２+Θ３+ ・・・・・+Θｎ
まで 繰り返すとき
08
Θ１＝Θ２＝Θ３＝・・・・＝Θｎ ＝ Θならば
複素数の （ ） ｎ乗になる
そして
その値は
偏角が ｎΘ
09
これが ド・モアブルの定理
ｎ乗が 負の時は
10
分母を 有理化の時の 様に
変形して行き
11
コサインと i サイン の 連結が +
になる様に
負角の公式で
補正すると
12
ド・モアブル の 定理は
ｎが 負の時も 成り立っていることがわかる
13
まとめると
こんな感じで
14
実際に どんなふうに 使うか
計算してみますと
複素数の べき があります
ベキ のときは 極形式に すると
ド・モアブル の定理 が使えるので
15
極形式に
絶対値 （アームの長さ ）
複素平面から 偏角
偏角は ぐるぐる 無数にあるため
0以上 偏角 2π未満 とすると
一つに 定まる
16
偏角は ｘ軸の 正方向との
なす角 であるから
マイナス 6分のパイ
したがって 与えられた 複素数の
極形式は 出たので
その 極形式の ベキ は
17
ここで
ド・モアブルの定理を 使って
18
後は 偏角 パイ の値を計算して
整理すると
19
こんな感じ
20
いきなり ド・モアブル 負の時を
やってしまったけど
21
マイナス ベキは 分母に 来るから
22
これでも 同じことに なるはずで
23
大丈夫だね
24
落ち着いていってみましょう
いま アメリカで
流行ってるんだって
スアベ
それにしてもさ
まさか 翔平さん ここまで
行ってるとは 思わなかった 米（よね）
25
絶対値 と 偏角
26
極形式の ベキ ド・モアブルの定理
27
指数の 計算だいじょですよね
28
単位円で
コサインは 動径の ｘ軸へ の 影
サインは 動径の ｙ軸へ の 影
極形式の 中身を 計算して
こんな感じ
29
今度は
さっき 一回やってるので
ド・モアブルの定理 負の ベキ を
いきなりで
30
絶対値 偏角
31
極形式
極形式の マイナス ベキ
32
ド・モアブルの定理は 負の時も 成り立つので
33
単位円は こんな感じで
コサインは x軸への 影
サインは ｙ軸への 影
34
こんな感じで
35
今度は
分母 分子で
偏角が イマハ 出る形
これを 下手に 有理化したもんなら
偏角が わかんなくなってしまうので
そこで
分母 分子 それぞれ
極形式に 変換して
行くのですが
36
分母の 極形式
37
分子の 極形式
38
分母の 偏角
分母の 極形式
39
分子の 偏角
分子の 極形式
40
（ 分母分子 極形式 ） の ベキ
平らにして
分母だった方は まいなす ベキ
ド・モー
41
数学の 感を 取り戻すには
まず初めに 指数計算
当然ほか 法則もですが
それは 暗黙の 了解の上で
指数計算が 割と 近道な 時が多い
42
後は 計算です
43
偏角 の計算 （ かっこ ） が 二つあるから
44
で
答え
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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