スローライフの森　数１　＆　自家菜園

複素数とベクトル　ド・モアブルの定理（２）
01

一見　前のページより　簡単そうに　見えたため

楽勝　なんて　おもってたら

痛い目に　合ってしまいました。


等式の証明から






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ここは　

まだ　足の　立つところですが


左辺を　極形式にするため

有理化を試みて　では　じゃナイスカ


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こんな感じで


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割と　いけそうですね


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これと言った　問題も

発生する気配がなく


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見えてきましたが


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何となく

同じ形が　散らばっていて


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ここまでくると


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こんなに　簡単に

なってすよ



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しかし

極形式は　サイン　コサインが　逆なので


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変身できるものを　　探っていくと

余角のエリアが

ソレゾレ

化けれますので



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ここまでくれば

ド・モアブルの定理で

なりましたよ

＝　右辺


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問題を　読んでいただいて


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それぞれ

極形式に　変形できれば

簡単なんですが


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偏角も

問題なく　出てきたので



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Z1


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Z2の方も


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ここまでくれば


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もうできたも　同然


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あ〜〜〜〜

場合分けか

この辺は　少々　苦手意識が　残ってますが

みなさまは　　いかがですか



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ｎが　3の倍数になるとき


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周期的に　同じ値になって


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３の倍数の時を　➀とすれば

➀の時　与式＝２



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3の倍数に　１を　足したときは



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先ず　Z1　の　〇の方から



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普通に　複素数は　こんな感じで


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Z2　△　の方は


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こんなですので


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ｎが　3の倍数+１の時を　�Aとすれば

�Aの時　与式＝-1



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今度は

�B

�Bはｎが３の倍数+2　の時


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左側　Z1　右側　Z2　とすれば

Z1は


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こんな感じで


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Z2は


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なので

�Bの時　与式＝-1



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まとめると


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であるから


ｎが3の倍数の時　与式＝２

ｎがそれ以外の時　与式＝-1



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手間取ってしまって

今度は

少し　簡単そうなので


LIFEを　回復　せねば


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先ず　極形式にして



39

二つとも　極形式にしたらば


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ド・モアブルの定理で



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ここは　ちょっと危なかったんですよ


足を　すくわれそうになり

ひやひや　しながら



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だいじょですか


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あ　これはさ

入試問題ではないけど

ガッコの　センセ　好きそうな問題


期末試験は　

もう　


すん　じゃっ　た〜か　なぁ〜


3倍角の公式を　ド・モアブルの　定理で

導きだすと言うもの



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実部が　コサイン

虚部が　サイン


左辺を　展開すると


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３連にしてですよ





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こうするしかないからさ


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実部は　コサイン


虚部は　サイン

に　成るように



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もうすこしかな


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計算間違ってないよな


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実部　虚部を　比較して

3倍角の公式


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次は

問題を　読んでいただいて

すみません


いきなり　来ましたよ


足がたたないんですよ


まじ〜〜〜〜〜〜


かなり　のたうち回ってから

何か　ヒントがあるはずだ


この参考書は

必ず　解けるように　作られていて


よく出来てるんですよ


どっかに　必ず　ヒントがある

さがせー


つづく・・・・・・



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かなり　経過してから

あった


かっこの　ｎ乗　してないものの

極形式が　欲しいのだけれど


中身は

うまく　極形式に　ならない


そこで

2乗してみると


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ん〜〜〜〜〜


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あ　成った


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先に　極形式を

求めてから

絶対値　に　偏角



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ところで

これは

2乗したものなので

ルートを　とると


で

指数にして


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ここまでくると
ド・モアブルの定理



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もう一回　
ド・モアブルの定理


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題意を見ると


実数に　なる　最小の

自然数　


自然数は　０を　含まない　

正の　整数であるから



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一番初めに

虚部が　0　になる　偏角は　パイ


１２分の　ｎパイ　が　パイに成る

最小の　自然数は

ｎ＝１２


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代入したら


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答えは　-64


63


これは　

相反方程式



64


偶数次の　相反方程式は

2乗で割って



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下準備を


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こんな感じに　変形してですよ

2次　方程式にして　解くと


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0または　２cosΘ



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(2)は

（１）の答えより


２cosΘの時

辺々　Zを　かけて


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Zを　解くと


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プラス・マイナス



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つまり　こんな感じなんですが

下側は

極形式が

コサイン　サインの　連結が　-

になってるので



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負角の公式で

補正すると


Zは

こんなになるですよ


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これを　与式に　代入して

ド・モアブル　の定理を　使うと



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虚部は　　　0　になるので



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＝２cos（ｎΘ）


ｚ+1/ｚ＝0の時は



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Θが　パイ/2　の時　0になるのだから

Θ=π/2　を　代入して

ｎを　変えていくと



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こんな感じで


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まとめると　こうです



おつかれさまです。

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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