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2022年06月28日
28038 大人のさび落とし 空間ベクトル
空間のベクトル
01
空間 3次元の時も
2次元のときと 同じ
違うのは
成分が 一つ 増えました。
02
位置ベクトル
ベクトルの大きさ
03
平面の なす角は こんなだったですが
04
空間の なす角は
こまるでしょ
そこで
x軸 、ｙ軸 、ｚ軸
との なす角を
α 、β、 γ
とすれば
これを （L,M,N)
で表して
方向余弦
05
空間の ベクトルは
各 x、y、z成分と その単位ベクトル
と言った成分の 和
06
各 x、y、z成分を
方向余弦を 使って 表せば
こうでしょ
07
各 x、y、z成分の 単位ベクトルは
ベクトルの 大きさで
割ってみると
08
なるじゃナイスカ
09
ベクトルの 内積は
平面 ：2次元の時は
こんなでしたよ
10
空間 ：3次元の時は
計算段階で
成分が 一つ増えて
こんな感じ
11
垂直条件
これも 平面の時同様で
12
実際に 何か 問題を見ると
13
ここで 味噌ナノは
半径1の 球体の方程式
14
二つの
ベクトルと 単位ベクトルの
垂直条件を
計算すると
15
というわけで
式が 3っ
16
これを 解いて
一つの 文字に
表して
比の値を 見ると
17
ｎで 比にしてみると
18
L:M:N = 6：2：-3
分数にあらわして ＝ kと置けば
19
これを ➀式に 代入したらば
20
kの値が
プラスマイナス 1/7
21
そうすれば
L,M,N は こんな感じで
2通り
22
こうです
23
次は 計算問題
入試には 出ないだろうけど
期末試験には
計算問題で 出る可能性大
24
部品を 計算して
25
出来上がってきた部品で
26
計算すれば
27
因数できないから
28
こんな感じで
29
次は なす角を 求めよ
こんなのも
期末 試験の計算で
出やすいですよね
30
わたくしの場合
文字式のうちはいいんだけど
最近計算は 電卓使ってるから
うっかりすると
算数の方が危ない
ケアレスミスは もったいないので
慎重と言うよりも
日頃から 手を動かして 計算する習慣
31
うまくできていて
32
なす角は 60度
33
コレは
ベクトルの問題なんですが
不等式は
コーシー・シュワルツ の不等式
34
同じものの 内積は
絶対値2乗
絶対値は ルートで
2乗だから
ルートが 外れた形で
35
与式 左辺は
36
展開して
やくせる ところがあるので
37
●▽◇
38
おでんに して
ちくわ 大根 こんにゃく
なつだって
赤ちょうちんで おでん じゃナイスカ
え
さいきん
あんまり であるいてない
そんなときはさ
・・・
話を 元に戻して
39
かっこ 2乗にすればさ
実数の2乗は ０以上
これはさ
ホントに ショッチュウ 使いますが
40
ナタメ
0以上は オッケイ
41
等号成立は
かっこの 中味が 0 になるとき
42
比の値で 外項の積 いこーる 内項の積
等式を
ぎゃくに
さかのぼると
43
外項の積を
まず 外項
内項を 入れて
今度は 分数の形に
変形して
44
全部 同様に
その結果
45
＝ｔ と置けば
ｘの成分は y成分の 実数倍
O,X.Y が 一直線上にあるとき
等号が成立する
46
等号が 成立スルトキノハナシダカラサ
47
平面上の
任意の 点 Xの 位置ベクトルは
こんな風になる
ただし L+M+N=1
48
AXは AC BC CA
の どれかと 交わるので
今回 BCと交わることにして
AX との 交点を Dとすれば
分点ベクトルで
OD Dベクトルは
49
OX Xベクトルは
50
Dベクトルを
代入して
Xベクトルを 計算し
51
aベクトル bベクトル cベクトル
の 係数を
L,M,N とすれば
ｘベクトルは
題意どうりに 成るでしょ
52
係数部部を 計算してみると
L+M+N=1
これは 題意に 適している
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年06月08日
28037 大人のさび落とし 複素数と ベクトル
01
原点 O を 中心とする
位置ベクトル OA OB があって
ABを 一辺とする
正三角形を 作ると
OC ベクトルの 成分は
どうなるか
02
正三角形ABC の C は
2通り 考えられ
辺AB の 上側 と 下側
BAベクトルは
位置ベクトルの引き算で
（-2,2）
これは
図に書き込めば
赤い所
ちゃんと OA-OB を
計算したんですが
結果は
原点Oの位置ベクトルの形で
与えられます
03
今引いた
赤いベクトルを
OA' とすれば
BA＝OA'
正三角形の 辺ABの上側に
C (x,y) が あるとすると
04
BC ベクトルは
計算結果は OC'
ちゃんと
OC-OB を 計算しましたが
答は 点Oの 位置ベクトルの形
になります
05
そこで
C (x,y)は
OA'を 60度 回転させたものと
重なる
ことになるから
直角座標 カーテシアン座標系を
複素平面のそのまま取り込んで
06
複素数の 表示に
直すでしょ
で
回転させると
07
先ず 時計回りから
マイナス回転
08
マイナス 回転したものが
OC'に 重なるのだから
09
複素数の展開の仕方で
10
左辺 ＝ 右辺を
虚虚 実実 で 計算して
11
出てきた ｘ、ｙを
カーテシアン座標系に 戻して
これが 時計回り 60度
12
反時計回りも
こんな感じの 図ですが
Cを （x、y）とすれば
BC ベクトルは さっきと同じ
13
今度は なす角 プラス回転
60度
14
さっきの 様に
15
計算は 間違うと
もったいない
日頃から
計算してないと
てきめんに 計算力は 落ちる
16
出てきた ｘ、ｙを
虚虚 実実 で求めて
17
これで
整理すると
18
C の 位置ベクトルの成分は
二通り
19
ベクトルがあって
この ベクトルと
45度の角を なすベクトル
の
単位ベクトル
を 求めよ
ベクトルの大きさは 絶対値
単位ベクトルは
各成分 ここでは ｘ、ｙを
絶対値で 割った成分
20
カーテシアン座標を
複素平面に取り込んで
回転させて
出てきた
複素数を
カーテシアンの成分にして
ｘ、ｙ 成分を ベクトルの
絶対値で 割ればいいのだから
行ってみましょう
21
絶対値から求めておいて
22
今度は
複素平面に取り込んで
回転して
23
回転方向で
COS SIN の 符号は
こんなだから
24
先ず
プラス回転
25
複素数の計算で
26
出てきた 複素数を
カーテシアン座標に
戻して
これは まだ
単位ベクトルではないから
もう一つ 出してきてから
成分を ベクトルの
絶対値で 割ればさ
27
マイナス回転も
28
複素数の計算
29
さっきと 反対みたいに
成って出てきたね
30
カーテシアン座標に
戻して
31
ソレゾレ
単位ベクトルは
ベクトルの絶対値 で
ｘ、ｙ 成分を 割れば
32
有理化して
こうです
33
次の問題は
今の問題の
続きの （２）なんですが
？？？
なんやねん？？？
読んでね
点これこれを
とおり
この媒介変数表示の
直線と 45度のなす角を持つ
直線の方程式を
求めよ
34
媒介変数表示は
ｔを 消去すれば
直線の方程式になるのですが
媒介変数表示の意味合いは
tの前の aとbが
傾きのx成分y成分
方向角で 表すこともありますが
35
そこで
この
媒介変数表示の直線の
方向を 知るべく
傾きから
直線に 平行な 位置ベクトルを
抜きだすと
36
位置ベクトルの
絶対値も
求めると
37
この直線の
位置ベクトル になっていて
どこかで 見ませんでしたか
分かんない
（１）で
全く同じ ベクトルと
さらに それに なす角４５の
単位ベクトルを
すでに （１）で
解答済み
38
つまり
媒介変数表示で 与えられた
直線に なす角45の
単位ベクトルは
すでに 求まっているので
ぎゃくに
媒介変数表示の
やり方で
点 (1、√３）を通り
この （１）の 単位ベクトルを
もつ 直線を
求めればいいのだから
39
整理すると
40
媒介変数表示で
直線の方程式を書いて
41
この二組から
ｔを 消去した
2つの方程式が
答
42
➀の方は
43
②の方は
44
答は
この2本
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年06月04日
大人のさび落とし 28036 円のベクトル方程式
01
2点 A、B を 直径とする 円の
ベクトル方程式
A,Bの 位置ベクトルを a,bとすれば
こうなるよ を 証明してちょうだい
02
ちょっといいですか
思い出してもらいたいことがあるので
周辺情報を 持ってきました
円周角 と 中心角の関係
03
直径を 中心角 とすると
円周角は 90度
ということは
AX と BX の 内積は 0になるので
04
先ず AX
次に BX
位置ベクトルの 引き算で
この 出てきた 二つの 内積が ＝０
05
証明したところで
実際に
うまくいくか やってみると
先ず プログラム と言うか
アプリ と言うか
書式を
文字で
計算するでしょ
06
ぐたいてきな 数値を 持っていて
入れて見ると
07
円の方程式の 標準形
08
中心 半径 が出て来て
図に 書き込んでみるに
よさそうだよね
09
問題
今度は Aを 中心とする 半径 ｒの
円の方程式
10
半径は OX-OA
で AX
半径が ｒ ダモンで
内積で (a,a)=絶対値 2乗
なったデショ
これでいいって言って
11
今度はさ
ちょっと違うんだ
Aを中心とする 半径ｒの円
の
円周上の点 X1とすれば
X1における 接線の方程式は？
12
接線と接点における半径は
垂直
これを 条件に式を作ると
13
こんなかんじ
14
言い方が 適切でないか知れないですが
後で 式に ｘも 入ってくるからさ
んん～～
X1 X を 表現を 換えると
こうでしょ
15
代入して
式を 整理してくと
16
ｘ１－aは 半径だから
内積の計算は
交換の法則が使えるから
17
実際に
接線の 方程式に 成るか
またさっきみたいに
文字で
プログラムを 組んで
代入みたいな感じで
18
内積の 成分の 計算の仕方で
展開したら
なるでしょ
19
図にすれば
こんなで
20
乱筆で すみません
問題を 読んでみてね
21
図にすると
こんなですよ
CP は半径
題意から
CPを ベクトルの 引き算で 書くと
tb-a
22
CPは 半径だから
同じものの 内積の時
内積の 展開の公式で
展開すれば
23
簡単に なるとこを 簡単にして
ｔの2次関数
ｔは 直線と 円の 交点のになる
二つの ベクトル
ｂの 実数倍
であるから
24
解と係数の関係で見れば
ｔ１・ｔ２は
25
であるから
一定になると
26
これは
方べきの定理の
導き方になっていた
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年05月24日
大人のさび落とし 280035 詳細版 直線のベクトル方程式（２）
昨日 アップしたものを もう少し
詳しく
01
問題
点と 直線との距離
を 求めよ
公式
02
先ず 点と 直線との 距離にあたるのが
ここ
03
次に
直線の 垂直成分は
これ
04
QP と この aベクトルが 平行であるを
内積を 使って
平行の時は コサイン 180度は マイナス1 0度は プラス１
ベクトルの大きさ は 絶対値で 表して
ピタゴラスの定理から
ナタメ
内積の 計算 角度平行は
こんなで
05
ところで
直線の 垂直成分が
（a,b）になるのは
直線上の 異なる 2点を
R、S として
R(x1,y1) S(x2,y2) とすれば
RS ベクトルは
06
成分で 計算して
また R(x1,y1) S(x2,y2) は 直線状の異なる 2点なので
代入して
07
連立して
08
整理すると
出てきた式は
aベクトル と RSベクトル の内積に等しいので
09
内積の計算は コサインが 入ってるものと
成分で 計算するものがあって じゃナイスカ
10
内積が ＝０なので
aベクトル 垂直 RSベクトル
11
話を 元に戻して
整理すると
QPベクトル 平行 aベクトル
aベクトルは 直線の 垂直成分
12
QPベクトル 平行 aベクトルから
内積の 2種類の計算を 出してきて
まずは さっきの コサインが 0または180度のとき
13
QPの 成分を 求めて
今度は QPの成分と aベクトルの成分で
内積
14
➀②式が出て来て
15
Q(X,Y)は 題意にはなく 勝手に決めたので
消去すべく
Qは QP上であると同時に 直線上でもあるので
16
直線の式に 代入して
変形して③
③を ②に代入して
17
出てきた式が ④
④と➀を つなげて
18
プラスマイナス で出て来ましたが
距離は 正なので
19
問題
20
成分とは 位置ベクトルのことで
21
問題を 図にすると
22
しかるに 成分は
23
HPもこんな感じで
24
この 垂直成分と
直線の成分の
内積が ＝０を 式にして
25
成分の内積で 計算してくと
26
こんな感じで
27
ヘッセの標準形と言われて いるそうな
28
2直線の それぞれの 垂直成分は
29
内積の 2種類の計算式から
30
こんなですか
角度が 等しい証明は
三角形の 相似を使って
31
問題
32
かっこ１
ソレゾレ 忠実に 計算してきますと
33
これはですよ
34
こういうことで
35
（２）
成分を設定して
成分の 内積を 計算し
36
整理して
左辺 右辺 つなげて
左辺に 集めて ＝０
37
これは
38
原点Oをとおり ABに 垂直な直線
39
これも それぞれ 成分で
計算して
40
整理するときに
順番が 入れ替わっても 大丈夫なので
41
成分の内積
42
左辺 右辺 つなげて
左辺に 集めて ＝０
43
この式は 逆に ここから
何の内積か を 起してくると
44
aベクトルと BPベクトルの 内積に等しく
垂直になるので
45
Pは 点Bを通り OAに垂直な直線 点Bを 含む
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年05月23日
28035 大人のさび落とし 直線のベクトル方程式（２）
01
点と 直線 との距離を 求めなさい
公式なんですが
方針といたしましては
内積を 使って 直線の垂直成分
と
直線までの 線分 PQ
QPにしとくかな
が 平行だから 内積は プラスマイナス
で
2通り
そこ題意に ない文字を 使ったところを
消去するための 代入式
02
こんな感じで
03
連立を
結んで
04
この二つだよね
05
そこに
もう一つ
Qの成分を 直線に代入した式
06
平行だから ベクトルの 向きで
プラスマイナス あるけど
ここは
点と 直線との 距離なので
プラスのみ
07
ところで
直線の 垂直成分を
いきなり 出してきてしまったけど
どうして そうなるかは
08
直線状の 異なる 2点を 結んだ ベクトル
直線の 成分
この時の 2点を 直線の式に
成分で 代入して
連立 整理 すると
09
こんな感じになるのだけれど
これはさ
下の ベクトルの内積の結果に等しいから
10
内積 =０ は 垂直じゃナイスカ
直線から 出てきた 成分が
直線に対して
垂直になってるでしょ」
11
問題
12
成分は 位置ベクトルで 代表されるので
13
直線の方程式は
これはね ヘッセの標準形ッテいうんだって
14
二つの 内積を 計算して
垂直成分と 直線成分
整理したらば
15
なったデショ
16
問題
17
直線の 垂直成分は
直線の 式から すぐ出るんですが
その成分 どうしの なす角 に 等しいので
18
成分を 内積で 計算すると
19
2通り あるでしょ
成分と 絶対値 絶対値 コサイン
ナス角は プラスマイナスで
こんな感じ
20
問題
21
計算してみると
22
こんな感じ
23
計算してみると
24
これは 何か
わかる様にしてくと
25
こんな感じ
26
これも
計算して
27
内積の 逆を やって
元の ベクトルを 見つけると
28
こんな感じ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年05月18日
080034 大人のさび落とし 直線のベクトル方程式（１）
01
直線の 方程式を ベクトルで 書くと
このような 条件があるとき
こんな感じになるんだけどさ
証明して
という問題
02
与えられた
式を 展開して
整理してくとじゃナイスカ
03
題意より
設定されてる 位置ベクトルは こうなので
そこに ｘ も加味して
04
復習ですが ベクトルの
引算足し算
05
こんな形に 成るのですが
これは何かと言えば
06
A,B,X は 一直線上にある
すなわち 直線だよ
07
こんなかんじで
08
ぎゃくに 直線AB上に ｘ を とれば
09
こんな感じに 成るので
10
これを 変形して行くと
これが 直線のベクトル方程式
11
さいきん
超難しい世界の話も 聞こえてきますが
数学は 基本的に 違うものを
同じと みなす と言う 考え方を するんだって
ベクトル を カーテシアン 座標系の ものと
おなじに
考えるに
12
成分で ベクトル 方程式に 代入してくでしょ
13
ｘ 成分 、 ｙ成分
これらを
14
こんな感じで
融合して
15
ちょっと 式の値を 移行したら
良く見る 形に
なったじゃナイスカ
16
これらは みんな 直線の方程式
17
問題
18
位置ベクトルを 使って
19
ベクトルは 平行移動を 自由にしていいので
こんな 等式ができて
20
なったじゃナイスカ
21
この問題は
今は どうか知らないけど
この参考書は 50年くらい前のだからさ
でも
たぶん いや キット
この問題は よく出てくるはず
条件が これこれの時
Pの 範囲を 図示せよ
23
かっこ１は
24
これはさ
25
線分 AB
26
かっこ２が いつも 問題なんだね
27
ここは
まだいいんだけど
28
だんだん 深くなる
周 と 内部
になるんだけど
29
実数倍の 関係で
縮んで行くので
30
ここまでは いいですか
31
問題が 発生するのは
いつもここ
ベクトルの 方向が マイナスんあった時
マイナス倍 なのだけど
元のベクトルに対して
マイナス倍の 方向の ベクトルは
元のベクトルで 表せば マイナスベクトル
32
同様な理由から
33
少し 悩んでみてね
34
答は まとめて 平行四辺形の 周 および 内部
になるにですが
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2022年04月28日
28033 大人のさび落とし ベクトル 平行でないとき ma+nb=0 ならばm=n=0
大人のさび落とし
01
ベクトル ベクトル a と b が
平行でなく
ma + nb = 0 ならば m=n=0
と言うのが あるのですが
問題
02
読んでいただいて
03
図に起こしてくると
こんな感じ
Dは OAを 2：1 に内分
Eは OCの 中点
Fは CD 、EB の交点
与えられてる 式の ベクトル
a と c は
平行ではない
04
定理のように 使っていいのならば
式変形して行って
05
定数の 引き算の項を それぞれ
ｍ、ｎ と置けば
なるんですが
06
テイセキを 使わないときは
Pが P’と イコールでないと
仮定してじゃナイスカ
式変形して行くと
07
こんな 形になるのですが
ベクトルの 方向 大きさの実数倍 が 等しく
始点が 同じとなると
同一 直線状に あることになってしまい
08
題意に反した 状況になっていますため
間違い
仮定が違ってたので
ゆえにP＝P'
09
そゆえ
ｑ’＝ｑ
10
CFベクトルを aベクトル cベクトル ｋ
で表せ
比の値から
ベクトルの引き算から
11
CFベクトルを aベクトル cベクトル L
で表せ
12
EFベクトルは L倍の ＥＢベクトルなので
また 平行四辺形の性質から
対辺が 等しいのだから
13
整理して
14
ＣＦベクトルは
15
(2)（３） より
ＣＦ ベクトルの 係数を 比較して
16
連立を 解いて
17
こんな感じで
18
こたえ
ラスト問題は
19
ｒが ０でないと仮定して
不合理か見ると
20
変形してくでしょ
21
この式は A,B,C
が 同一直線上にあることになってしまい
題意に反する
ゆえに
ｒ＝０
同様に
22
今度は Ｐが 0でないとすれば
23
こんな 感じになって
これの意味は
24
Ｂ，Ａ，Ｃは 同一直線上にある
ことになり
題意に反する
ゆえに
Ｐ＝０
25
同様に
ｑが０でないと 仮定すると
26
こんな感じに
27
やはり
Ａ，Ｂ，Ｃは 同一直線上にあることになり
題意に反している
ゆえに
ｑ＝０
28
ナタメ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年04月01日
28032 大人のさび落とし ベクトル 共線条件 （ メネラウスの定理 ほか）
大人のさび落とし 共線条件
01
きょうはですね
始めに
一つ 定理が あるんですが
メネラウスの定理
こんな感じなんですが
02
逆に これが 成り立てば
3点が 一直線上にある
03
メネラウスの 定理を
比の値だけで
考える時
証明してきますと
まず 補助線を ひいて
三角形の 相似から
04
この二つの三角形で
相似から 比を出してきて
掛け合わせるでしょ
05
補助で 入れた 点Dが
消去されて
さらに
右辺が 1になるように 掛けると
06
これは 比の値で
考えていて
向きは 問わないから
定義のように
揃えて
証明終わり
07
これを
向きも 加味して
ベクトルで 考えると
＝－１ になる
08
先ほどと
同じように
補助線を 入れて
三角形の 相似比で
等式を 組んでいくんですが
今回は 向きも 考えますので
09
向きを 定義のように
揃える （修正する） 時
符号が 変わって
10
右辺が 数値に 成るように
掛けると
11
向き 順番を
定義のように 揃えて
証明終わり
12
これを 踏まえ
メネラウスの定理
もんだい
ベクトルで
聞いてきてるので
右辺は＝－１
13
一直線上に
なるためには
ベクトルの実数倍
14
そのために
位置ベクトルを 使って
15
PQベクトル PRベクトルを
分点ベクトルで
求めると
PQ
16
PR
17
三角形の 底辺の B 、P 、C
から
B の位置ベクトルは
定義の BPの 逆向き
BPとPCは 一直線上で
P:1だから
18
比の値を
ベクトルの 実数倍に 代入して
19
この ｂを ②に代入（PRベクトル）
20
メネラウスの定理に
比の値を 代入して
出てきた
ｒを
21
さっき ｂを 代入して
③になった式に
さらに 代入して
22
PRベクトル
23
PQベクトル PRベクトル
これが 実数倍の 関係に
なっていれば
一直線上を 言えるので
24
係数を 割り出すと
これが
次数倍の 係数
25
検算してオオケイ⇒じゃナイスカ
26
左辺は 右辺は
したがって
P,Q,Rは 一直線上にある
27
問題
今度は
メネラウスではないですが
28
ベクトルの 引き算の式を使って
隠れてる ベクトルを
起してくると
で
条件式に 代入すると
29
これを 考えると
30
点Pは
三角形ABCの 辺 CAを ２：１に
内分する点である
31
問題
読んでいただいて
32
先ず 3線分の中点を
L,M,N
それから
A、B、C、D、E、F
の
位置べくとるを
a,b,c,d,e,f
として
題意より
33
ここから
ベクトルに 取り込んで
34
位置ベクトルで
表して
35
e,f
が出たと
36
A、B、C、Dの 位置ベクトルは
a,b,c,d
であるから
今度は
中点の 位置ベクトルを 計算すると
37
OMも
38
3っつの中点の ベクトルが出たので
共線条件を
ベクトルで
見ていくと
LNベクトルは
39
LMベクトルは
40
次数倍を 計算すると
41
共線条件を
満たすので
3中点は 一直線上にある
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2022年03月26日
スイスチャードの オリーブオイル蒸し
スイスチャードの オリーブオイル蒸し
自家菜園ではないんですが
生えてるでしょ
実はですね
伯父が 運んできてくれました
筋が 堅いから 良くゆでてから
しかし
ゆですぎると 栄養が じゃナイスカ
でちゃうぅ～～～
ホウレンソウみたいに
使えばさ
これを
ん～
確かに 堅いけどさ
ホウレンソウだって おおきくなれば
似たようなもんだ
このまま蒸して
剪定すればさ
にんにく おりーぶおいる あれも少し
あっという間に
できてしまう
これを 剪定して
盛り付けは とくいでない
こんな感じで
勘弁してもらって
スイスチャードの オリーブオイル蒸し
ホウレンソウと 同じ感じで
いただけます
おじさん ごちそう様。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2022年03月25日
28031 大人のさび落とし ベクトルの内積 垂直条件
ベクトル 内積 垂直条件
01
三角形の 垂心が 一点で 交わることの証明問題
問題文は コレ
02
三本が いきなり 交わるを言うのは
むずかしい
しかし
2垂線
なら すぐ交わるでしょ
残りの 一本が
頂点から 交点を 通ったとき
対辺に 垂直ならば
3本とも 一点で 交わることになる
03
先ず 設定から
基本になるベクトルを
3っつ 設定して
題意の 垂直条件を 表す 内積は
04
この 2垂線の交点Hを 通る ➀式の内積が
イコール ゼロ なら
垂直が言えるわけで ：➀式
これだけでは 条件式が 足りないので
05
他の 2垂線の 成立済みの 垂直条件を
内積に 取り込むと
06
ここで
条件式から ②が
07
ここで 条件式から ③
08
➀式の 内積の計算は
09
②③式から
③を③’に変形して
10
② － ③’は
この結果から
➀式の内積が イコール ゼロ
11
したがって
三角形の 各頂点からの 3本の垂線は
１点で 交わる
12
内積の 復習
絶対値の計算
13
内積の復習
14
なす角の求め方
15
絶対値 2乗
16
内積の 計算法則
17
問題
読んでいただいて
18
外心は 中心から 各頂点まで
等距離
ベクトルの 計算で
BCは これ
問題は AH
19
AHが これだとわかったら
内積の 計算を するでしょ
20
外心は 中心から
各頂点まで 等距離でしたから
21
問題
22
さっきと同じで
OBベクトルーOCベクトルは
CBベクトル
三角形の一辺だから
これに もう一方の式の値が 垂直
二等辺三角形と 仮定して
22
23
BCの中点を D とすれば
24
条件式に代入して
式変形すると
25
こんな結果になったので
これは
2等辺三角形
26
問題を 読んでいただいて
27
成分を 考えるじゃナイスカ
28
成分を だして
二乗は 絶対値の 二乗だから
絶対値の計算を しておいて
二乗して √が はずれて
29
内積じゃなくて
成分の 展開
30
同じように
ACも 絶対値を 計算して
二乗して
ルート を 外して
成分の 展開
31
条件式に 部品を 代入したら
32
こんな式が出て来ました
この式が 成り立つときに
題意では
OAベクトル 垂直 BCベクトル
33
OA BC の 内積を 計算すると
34
先ほどの 条件式からの 式を 移行して
整理すると
内積の答えは イコールゼロ
OA も BCも ゼロでないとき
内積が ゼロなので
OA と BC は 垂直である
34
35
問題を 読んでいただいて
これはですね
手こずりました
36
まず 題意から 条件を出していって
37
➀②③④⑤⑥ の 条件式
正方形だからさ
38
ソレゾレ
内積の成分を もとめておいて
計算するじゃナイスカ
39
整理してくと
40
ここまで来たらば
値の 等しいとこを 確認して
（ 正方形の 辺の 長さ）
そうしたらば
同じになるからさ
＝ ０
で
垂直
41
次は
これを 証明するんだけど
42
平方しておいて ルートを とったり
数学では よく使う手ですので
やってみますか
43
２AMの方も
44
2式を つらつらと
見比べて
45
プラス マイナス の 違うのはと
46
絶対値の方は
大きさが 同じもの同士を
確認して
こんな感じに 成るよと
47
お医者さんに ヒントを
もらうこと多い私です
あるドクターは
円の問題は よくやった方がいいよ
また
あるドクターは
みんな 三角関数は あんまり 得意でないから
サインコサインタンジェントで
相手が ひるんだすきに 考えてさ
48
ともかく
実際に 代入して 値を 見るとですよ
コサインは
ｘ軸
プラスに なるとき
マイナスになるとき
制反対に 成ってて
まんなかの 90度は 共に ゼロ
49
計算値 は イコールになる
両辺の ルートを取って
証明終わり
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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