2022年04月01日
28032 大人のさび落とし ベクトル 共線条件 （ メネラウスの定理 ほか）
大人のさび落とし 共線条件
01
きょうはですね
始めに
一つ 定理が あるんですが
メネラウスの定理
こんな感じなんですが
02
逆に これが 成り立てば
3点が 一直線上にある
03
メネラウスの 定理を
比の値だけで
考える時
証明してきますと
まず 補助線を ひいて
三角形の 相似から
04
この二つの三角形で
相似から 比を出してきて
掛け合わせるでしょ
05
補助で 入れた 点Dが
消去されて
さらに
右辺が 1になるように 掛けると
06
これは 比の値で
考えていて
向きは 問わないから
定義のように
揃えて
証明終わり
07
これを
向きも 加味して
ベクトルで 考えると
＝－１ になる
08
先ほどと
同じように
補助線を 入れて
三角形の 相似比で
等式を 組んでいくんですが
今回は 向きも 考えますので
09
向きを 定義のように
揃える （修正する） 時
符号が 変わって
10
右辺が 数値に 成るように
掛けると
11
向き 順番を
定義のように 揃えて
証明終わり
12
これを 踏まえ
メネラウスの定理
もんだい
ベクトルで
聞いてきてるので
右辺は＝－１
13
一直線上に
なるためには
ベクトルの実数倍
14
そのために
位置ベクトルを 使って
15
PQベクトル PRベクトルを
分点ベクトルで
求めると
PQ
16
PR
17
三角形の 底辺の B 、P 、C
から
B の位置ベクトルは
定義の BPの 逆向き
BPとPCは 一直線上で
P:1だから
18
比の値を
ベクトルの 実数倍に 代入して
19
この ｂを ②に代入（PRベクトル）
20
メネラウスの定理に
比の値を 代入して
出てきた
ｒを
21
さっき ｂを 代入して
③になった式に
さらに 代入して
22
PRベクトル
23
PQベクトル PRベクトル
これが 実数倍の 関係に
なっていれば
一直線上を 言えるので
24
係数を 割り出すと
これが
次数倍の 係数
25
検算してオオケイ⇒じゃナイスカ
26
左辺は 右辺は
したがって
P,Q,Rは 一直線上にある
27
問題
今度は
メネラウスではないですが
28
ベクトルの 引き算の式を使って
隠れてる ベクトルを
起してくると
で
条件式に 代入すると
29
これを 考えると
30
点Pは
三角形ABCの 辺 CAを ２：１に
内分する点である
31
問題
読んでいただいて
32
先ず 3線分の中点を
L,M,N
それから
A、B、C、D、E、F
の
位置べくとるを
a,b,c,d,e,f
として
題意より
33
ここから
ベクトルに 取り込んで
34
位置ベクトルで
表して
35
e,f
が出たと
36
A、B、C、Dの 位置ベクトルは
a,b,c,d
であるから
今度は
中点の 位置ベクトルを 計算すると
37
OMも
38
3っつの中点の ベクトルが出たので
共線条件を
ベクトルで
見ていくと
LNベクトルは
39
LMベクトルは
40
次数倍を 計算すると
41
共線条件を
満たすので
3中点は 一直線上にある
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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