スローライフの森　数１　＆　自家菜園

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大人のさび落とし

今日は　分点ベクトルですが

その前に


01

必要な知識を

まず

位置ベクトルの考え方


02

今日の本題

分点ベクトル

2本の　ベクトルで

それぞれ

遠い方を　かけ合わせる感じに


C=の公式を

3列目に　変形するにあたり

全体を　1と考えて

ｍ：ｎ　何のだから

ｍ/（ｍ+ｎ）＝ｔ　とすれば


ｎ/（ｍ+ｎ）＝１−ｔであるので

ソレゾレ

ｎが（1-ｔ）　ｍがｔ


03

特に

分点ベクトルで

中点は



また

外分の時は



04

重心ベクトルは


05

一次独立な

ベクトルが　あるとき


06

直線になるとき


平面になるとき


07

立体になるとき


08



では　位置ベクトルを　使って

分点ベクトルの問題


09

ここで

表現の仕方ですが

ADは　辺

AB　上にある

つまり　A,D,Bは　

一直線上にあるのだから


AD＝ｋ　AB


10

ODは　OAに　AD　を足したものだ

ADは　K倍のAB　だから

そこんとこの　ｋ　倍は

ｍ/（ｍ+ｎ）



OAは　そのまま　aベクトル

AB　は　OB−OA

だから　ｂ-a

ナタメ



11


こんな感じに　なるですが

展開して

整理したらば

公式通りに　



12



重心を　Gとして

OGを　求めよ

ですが



三角形の　

重心の特徴があったデショ


ABの中点をMとしたらば


OMは　こんなデショ


OGは　


OCとOMを　2：1に　内分するから

それが重心

だから


13


問題


14


作図してじゃナイスカ

AB　CD　の中点が

ソレゾレ

M,N

なので

OM　　ONは　それぞれ

中点の　公式で



求めるのは

MNの　中点　OP

であるので

この答えは

四面体の　重心だね



15

四面体の中で

三角形　BCDの重心を　G１

とすれば



四面体の三角形　BCDの　外にある


Aから　G1への　線分を

３：１に内分する点を　Q

として

OQ　ベクトルは

重心の　ベクトルを

計算して

Aと　G1を　３：１に内分であるから


16


計算したら

これは　

四面体の重心だね



17


問題


18

数学では

答を　予測すること大事で

一見違うものを

きっとこれに　なるだろうと

近づけていくとかね


（　宇宙際　対比　
ミューラー理論は
わかりませんが　）


望月博士に　

人の心に　

思い浮かびもしなかったことが

供えられていたとしたら

いいなぁ







ホントにね

寅さんじゃないけど

上を向いたら

きりがなく

下を向いたら

後がない



やばいじゃんか　なぁーな

　さび落としが

お届けしています

大人のさび落とし



22007

ベクトルの大きさ

01


問題を　読んでね

この　条件式を　良く見ると

02

AB　だけ　異物感があるでしょ


そこで


右辺の　AB を　左辺の　ベクトルで

表現したらば


これは

決まって使う手段ですが

AB＝　PB−PA


03

左辺に　集めて　整理すると



04

PC＝２AP

ベクトルの　実数倍

方向が同じ

点Pを　‏共有している

つまり

A,P,Cは　一直線上にある


それで

AP：PC＝　1：2


であるので


05


三角形ABCの　辺ACを　1：2に

内分する点が　P



06


ここで

入れ知恵タイム
ベクトルの　大きさを　比較するとき

こんなカンじに　成るけど

右の　等号は　a　と　bが　同じ向きの時


左の　等号は　a　と　bが　反対向きの時



07


問題

右の図で

これこれの時

次の　値を　計算しなさい


良く見ると

a,b,c,は　互いに　垂直方向

そのまんま　足すわけには　行きません

立体的に

足し終えた後の

ベクトルの　大きさを　調べないと


08

こういう問題なんだね



09
AGが　こんなだから



10

対角線AGの大きさを　調べて


11

（2）は


こんな感じに　成るから

この座表成分から

Aとの距離を　計算して



12



こんなですか


13

証明問題

まず

MN　に関しては

こないだ　も　同じものが出てたので

（22006の　1問目）


14

こんな感じで

ここまでは　

出て来ますよ


15

それで

これは　空間の　ベクトルだから


16


左辺は　中辺に等しくて　右辺とは

こんな感じに　成る


17

問題

読んでいただいて


途中までは

一番　初めの問題と

ほぼ　そっくり　そのまま



18

こんな感じに


19

どがんな　位置に　Pが　あるか

見ると


20


こだからんな


21


題意より

求めるものは

三角形　ACP　と　BCP　の

面積比

であるので

高さが　おなじとかんがえて


底辺×　高さ　割る　２

違うとこは


底辺の　比だけ

なので

1：2




お疲れ様です。


メニュウ

大人のさび落とし

ベクトルの実数倍

01

問題を　よんでいただいて

図を　書かないと

よくわかんないですが



02


その前に

中点の　使い方は

中点を　はさんで

同じベクトルにするか

反対向きに大きさの等しいものにするか

または

全体を　中点までの　2倍にするか


03



それを　踏まえまして

問題のを作図すると　こんな感じ

中点を　はさんで

大きさの等しい
反対向きベクトルを
使いました


04

それで

中点を　むすんだ　線分のベクトル

MN を　



右回り　左回りで


計算して

ちゃんと　中点を　表現した

ベクトルを

式に　取り込むでしょ


そして

➀�Aを　足して

2で割れば


05


同じ問題の

別解
三角形に　考えて


ACの中L点をLとすれば

M,Lは

中点であるから

ML=1/2（BC)



06

お隣の三角形は

同様に

LN=1/2（AD)



MN=ML+LNであるから


MN＝1/2（BC+AD）


　
07

問題を　読んでいただいて


08

作図するとじゃナイスカ

1：2に　内分を　


ｃ　と　ｄ　を　使って


09



こんな感じに

時計回り　反時計回りで


1：2　になってますよを


式に　取り込んで

➀�A式


10

題意では　PQを

aと　ｂで　表せなので


ｃ　と　ｄを　消去すべく

➀×２　+　�A

で行ってみますと


11


こんな感じですか



12

直方体で

次の式を　証明せよ



13



AB＝　a

AD＝　ｂ

AC＝　ｃ

とすれば

各4ほんづつ

同じベクトルが出て来て

AG＝AE+EF+EG　とすれば


右辺は　2（a+b+c)



14

左辺は　計算してくと


なったですね


15

問題を　読んでいただいて


16

作図は　こんな感じ

題意は　M1　M2　M3が

一直線上に　あることを言う


一直線上　ならば


M2M3＝　実数倍の　M1M2

そこで


17

4面体の　対辺同士の中点を

結んだ線分は


対辺の和の半分　ッテいうのを

思い出し

やったじゃナイスカ

今日の　一番初めの問題

四角形A1A2B2B1

と　四角形A2A3B3B2

に分けて

M1M2

M2M3　を　計算してみるとじゃナイスカ

まずは
四角形A1A2B2B1


時計回り➀しき


反時計回り�A式


➀＋�Aから

M1M2＝1/2（a+b)



18

次に

四角形A2A3B3B2で


M2M3　時計回り�Bしき

　　　反時計回り�C式


�B＋�C

M2M3=1/2ｋ（a+b)



19

M1M2　と　M2M3

の関係は　実数倍になっているので


ベクトルの　実数倍が等しい　方向が　同じ



M2M3　と　M1M2は　M2を　


共有していて

方向が　同じ　ということは

一直線上に　ある




お疲れ様です。

空間ベクトル　

和と差

01
まずは　

復習から


空間の　ベクトルも

平面のときと　まったく同じですが

ベクトルは　大きさと　方向を

同時に持っているもの



大きさは　絶対値を　付けて

02


ベクトルの　相等は

大きさ　方向が　同じ


ことを言います


ベクトルは　自由に　平行移動して

考えてよいので

始点は
　

どこでもいいのですが


始点を定点にするという

考え方　位置ベクトル

これは

便利な考え方です



03

逆ベクトル

零ベクトル
>

04

ベクトルの

和は　差は

こんな感じでした


実数倍



05

演算の仕方は

こんなイメージで



06

分配の法則

ゼロについて

交換の法則

結合の法則


07
では
四辺形ABCD　において

次の等式を

証明せよ



08

平行四辺形　BCDE　を
CD＝BE

AB+CD=AB+BE

=AE




AD+CB=AD+DE

=AE



09
左辺と　右辺の　橋渡しで

AとCを　結ぶと


ACを　イコールで

結んで

式を　移行すると




10


なったでしょ


別のやり方で

始点の同じものに

着目して

式を作り


イコールでつなげて



11


整理して

題意の式に

ちかづけて

移行したら



12


また別の方法では

異と周り法

これは

面白いでしょ


始点から　始点に　向かって

ぐるっと足して

＝０

ここから

左右に　分けていくと



13


平行6面体

平行四辺形になってるので


14

ベクトルの　足し算に

値を　代入して


15


こんな感じで


16

難しくはないけどさ


17

で　今の　同じ図形で

次の式の表すベクトルは？


可能性で

同じ　値になるベクトルを

つらつらと

書いて


しっぽと　頭が　つながるように



18

可能性に　かけてみましょう

さいごまで

たどり着いたのは

一つだったじゃナイスカ



19

面白いでしょ


20

問題

次の関係が　成り立つか？

って書いてある



21


左辺は

こんな感じ



22

中辺は　
こんな感じ


23

右辺は　こんな感じ

あれ？

右辺は　イコールに　成んないな

まちがったかな？



解答には

あ〜〜〜


題意にあったデショ

関係は　


成り立つか？


いつもは　成り立つことを

証明しなさいが多い為

うっかりしてると

ねー


だからさ


これでいいんだ


左辺=中辺は成り立つ

中辺=右辺は不成立


24

お疲れ様です





また来週

空間座標とベクトル

球の方程式

01

空間に　直径の両端にあたる

2点の　座標が　示されている

この　球の方程式は？


また

この球が　ｘｙ　交わる図形の

方程式　および

その　図形で囲まれた

面積は？


02


球の　方程式の

標準形は　こんなでしたから


これは　中心の座標と

半径の大きさが

わかれば　出る



03

直径の両端が

分かってるので


中点の座標を　求めて

球の中心


直径の片方側

原点と中心の距離は

半径になるから


04




半径は　13

球の中心も分かってるので

球の方程式は

こんなです


05

これが

ｘｙ　平面と交わるには

ｚ座標が　ゼロ

ｚ＝0を　代入したらば


円の方程式


06


半径が　５だから

パイ　アール　二乗

で

25π


07

球の中心座標と

半径が　わかる様に

一般形を　標準形に

する問題


08

平方完成してくと


09

なので

中心の座標　と半径が

出て来て


10


球の方程式を

求める問題

球が　ｘｙ平面と交わるとき

の　ｘｙ平面にできる円の

中心と半径

球が　ｘｚ平面と交わるときの

中心が　わかってる時


球の方程式を　求め

この球と

x軸との交点を

求めなさい

という問題


11

求める　球の方程式を

こんな感じにして

ｘｙ　平面の切り口は


ｚ＝０

であるから

いくつかは

わからないけど

ｚ１　の　二乗を　ｒ二乗から

引いたものが

半径になる形で


ｘ１　と　ｙ１は


そのまま


12

であるから

これらから



13

ｘ１＝１　　ｙ１＝２

r二乗ー　ｚ1二乗　＝20


と

ｘｚ平面

との交わりが




14

だから

ｚ１　は　このまま　ｚ１＝４



15
そうしたらば

元の球の半径は

プラスマイナス６　だけど

半径なので

正の数でないと　いけないから

ｒ＝６



16

なので


球の方程式

半径

は　　　こんなです


ｘ軸との交点は



17


５　と　まいなす３


であるから

座標で

こんな感じに



18

二点　Ｏ　と　Ａに関して

ＰＯ：ＰＡ＝２：１

になる　Ｐに軌跡は？


19

内項の積　＝　外項の積


二点間の　距離の　公式で



20

ＰＡ


ＰＯ

がこんなデショ



21

条件式を　辺々二乗して

代入したらば



22



展開して

左に　集めて整理して


今度は

円の式の標準形に持ってくと



23


平方完成して



24




こんな感じ


25


この軌跡は

球になり

球の中心　と　半径は　

こんなです



26

四面体があって

こんな感じに

角度の　条件がついていて


この

各頂点を　通る

球の半径を

求めなさいと



27

図にすると

直交座標系に

成ってるじゃナイスカ


そこで


28

ｘ、ｙ、ｚ軸に　

重ねる形にしておいて


O,A,B,Cの　座標と

球の一般形を

こんな形にすれば


この　４点を　

通るのであるから



29

代入してくと


Oを　
代入したら

Ｋ＝０


30
Ｋ＝０が出たので

Aを　代入してくと

Ｌ＝−a



31

Bを

代入したらば

ｍ＝−ｂ



32
Cを　代入したらば

ｎ＝−ｃ



33

であるから

球の方程式は


34


一般形を

展開して

標準形に

整理してきますと



35

こんなですよ

題意は

球の半径を　求めよ

であるから


こんな感じで



お疲れ様です。

大人のさび落とし

分点　重心

01


四面体は辺が　6っ本あるので

立っている部分

底面の部分

ソレゾレ

辺の中点を　L,M,N,P,Q,R

とすれば


LP,MQ.NRは

　一点で　交わり

さらに　互いに他を　2等分する


これを　証明するのに

02

座標を　使わないとき

今回　平行四辺形を

使って

その性質から

対角線は　互いに　他を

2等分するを使って


証明してきますと



（LP,MQ.NR）
LP,.NR　を　対角線にもつ

平行四辺形

LNPR

どうして

平行四辺形か　と言えば


LNとRPに関しては

三角形ABC　訂正

三角形ABD

と

三角形CDBは

平面が交わっているので

BDが　共有直線

三角形　ABD　において

L,Nは　AB　、ADの中点であるので

LN　平行　BD



03

三角形　CDBにおいて

R、Pは

BC,CDの中点であるから
RP平行BD



LN　平行　BD
　
RP　平行　BD



から

LN平行RP


・・・・・・・
平行四辺形

LNPR

LN平行RPが言えたから

今度は

三角形ACD　と　三角形ACBで


ACは共有直線


04

三角形ACDで　N、Pは　それぞれ

DA、DCの中点であるから

NP　平行　AC



三角形ACBで　L,Rは　それぞれ

AB、CBの中点であるから

比の値より

LR　平行　AC


NP　平行　AC
LR　平行　AC


より


NP　平行　LR


05

あるから　四辺形LNPRは

対辺が　互いに　平行で

LN　平行　RP　　NP 平行　LR

になっているので

平行四辺形であり


平行四辺形であるから

対角線は　互いに

他を　2等分する


より

（LP,MQ.NR）

LP,と　NR　は　互いに

他を　2等分する


06

同様に

視点を変えて

四辺形MNQRが

平行四辺形になることを


一組筒

対辺が　平行になってることを

示すため

MN　平行　CD



07

RQ　平行　CD



MN　平行　CD
RQ　平行　CD


MN　平行　RQ



08

平行四辺形の

もう一方の対辺も


同様にして

ふたつの　三角形と

交わっている　共有直線

二つの三角形の　共有直線以外の

それぞれの　2辺の　中点から

比の値により

平行である　に持ち込み


09

四辺形MNQRの

もう一組の

対辺が　QN 平行　RM


より


四辺形　MNQRは　平行四辺形であるから




10

同様に　四辺形LMQP　にかんして

三角形ABC　と　三角形DBC

は

BCを　共有直線とし


三角形ABCの側は

LM　平行　BC


11


三角形DBC　の側は

QP　平行　BC



であるから
LM　平行　BC
QP　平行　BC


LM　平行　QP




12
また　四辺形LMQP　にかんして

三角形CAD　と　三角形BDAより


三角形CADの側は

MP　平行　AD



三角形BADの側は

LQ　平行　AD


MP　平行　AD
LQ　平行　AD

より

MP　平行　LQ


13

したがって

四辺形LMQP　は　二組の

対辺が　互いに平行であるから


平行四辺形であり

平行四辺形であるから

対角線は　互いに　他を2等分する


ので


LP,MQ.は　互いに　他を2等分する

・・・・・・・・・・・・・・
➀

平行四辺形LNPRから

LP,と　NR　は　互いに

他を　2等分する

・・・・・・・・・・・・・・・・
�A

MNQRが

平行四辺形になることから

対角線は

互いに　他を　2等分する


（LP,MQ.NR）

MQ.NRは　互いに　他を2等分する

・・・・・・・・・・・・・・・・・
�B

四辺形LMQP　は平行四辺形であるから

対角線は　互いに　他を2等分する


ので


LP,MQ.は　互いに　他を2等分する

・・・・・・・・・・・・・・・・


14


➀�A�B
より
　
LP,MQ.NR　は

一点で交わり　互いに他を2等分する


証明終わり



15

この同じ問題を


16

座標を　使って

説明すると


LM,MQ,NRが　一点で

交わり

互いに　他を2等分する

というのは


それぞれの　中点を計算して


中点が

3っつとも　一致すればいいので

計算してみると


17

LPから

L　、Pは　それぞれ

AB　、　CD　の中点



18

この　中点を　結んだ　線分の中点を

G1とすれば


G1は


19

同様に

MQの　中点

M　、　Qは　それぞれ

AC,BD の中点

ＭＱの中点を　Ｇ２とすれば

Ｇ２は


20

同様にして

ＮＲも

Ｎは　ＡＤの中点

Ｒは　ＢＣの中点


ＮＲの中点をＧ３とすれば



21

Ｇ３は


ナタメ

ＬＰ，ＭＱ、ＮＲ

の中点　Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３が

ことごとく　一致するので


22

先ほどの　証明と　同じことが言えた



23

問題を　読んでいただいて



24

座標を　こんな感じに　設定して


25

内分点

Ｐ　、Ｑ　を　


26

計算すると



27

ソレゾレ

出てきたところで



28

ソレゾレ　三角形の重心に

重なるか　計算来ますとして

三角形ＢＤＥの重心は


29

三角形ＣＦＨの重心は

であるので

オッケイ




30

問題

フィル　インザ　ブランクス



31

それぞれ

中線の足を

Ｐ，Ｑ，Ｒ　と置いて


ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ

二点間の距離を

計算して

一番長いものをじゃナイスカ



32


ここで

二点間の　距離は　√の形で

出てくるので

√の値が　違ってくると

近似値を　使わないといけない

そこで

そんなことを　しないように


二乗の形で　計算すれば



33
まず　それぞれの　中点

Ｐ


34

ＡＰの　二乗は


35

中点Ｑ


36

ＢＱの二乗は




37

中点Ｒ



38

ＣＲの二乗は


39

一番長いのは

ＡＰ

だね

だから　頂点Ａ

からのものが　一番長い


40

問題を読んでいただいて



41


座標を使って



42

証明方法として


実際に　計算してみて

確かに　そうであったと

実証する形でじゃナイスカ


頂点Ａに対する

対面の重心は

三角形ＢＣＤの重心


空間の三角形の重心Ｇ１を

計算すると


43

次に　頂点Ａと　Ｇ１を

3対１に　内分する点を　　

計算すると



44


こんな値になったよ



45

頂点Ｂと対面する面の重心をＧ２

とすると

Ｇ２は　三角形ＡＣＤの重心


46

ＢとＧ２を

3対１に　内分する点を　　

計算すると


47




頂点Ｃと対面する面の重心を

Ｇ３として

Ｇ３は三角形ＡＢＣの重心であるから



48

Ｃ　と　Ｇ３を

3対１に　内分する点を　　

計算すると



49

こんな値


50

最後に　頂点についても

対面の　重心をＧ４　とすれば

Ｇ４は　三角形ＡＢＣの重心であるから


51

こんな値


52

ことごとく　一致するので



53


実証できたと




お疲れ様です。

大人のさび落とし　




空間座標とベクトルから

二点間の距離


01
問題

正三角形であることの

証明と


この正三角形を

一つの面とする

正四面体の他の頂点をを求めなさい



02



三辺の　長さが　等しい

を　使ってみますと



03

個々に　計算して

成ってるよね


だからさ

正三角形

整理すれば　同じ　だからさ



04

問題は

次だな

正四面体の　他の頂点



Dとすればさ

全て　正三角形の　面だから

AD=BD=CD=AB


05

これを　連立にしてくと


06

AD=BD　より

計算してくと


07


➀式


BD=CD　より


計算してくと


08


�A式




09

これも

コレは　種類が　違って見えるね



10


➀�A�Bしきから


➀�Aをつかって



11


Zを　消去して


12


計算して


13

整理してくと

X=Y



14


同様に

➀�Aを　また少し変えて


15


計算してくと



16

整理してくと


17

X=Z



18
ナタメ　X=Y=Z

これを　�B式に　

Y=X　Z=X　で

代入したらば



19

ここで

Xを　解の公式で　求めれば

X,Y,Z　みんな　等しい値の

座標になるので




20
ルートの中身が出たから


21

整理してくと


22

こんなカンじに

成ってじゃナイスカ


23

Dは　正三角形ABCの

両方の側に　あるんだね


24


今度は　なんか難しそうだけど

そんなことないですよ

行ってみましょう


25

この条件で　計算したらば






26


これを

ピタゴラスに入れて


27

整理してくとだ


28

なったじゃナイスカ



29

内積でも　解けるので

見ておくと



30

こっちの方が　早いね



31

今度　空間にある

正方形


32

条件を　見つけて


33







条件を　関係式に

してくと


34



計算して


35

関係式　2本目



36


連立から

Xを解くと



37


このXについての方程式は


38


解を調べると


39

実数解を持つ



40

ナタメ

じゃナイスカ




おつかれさまです。

01

空間図形と座標

空間における
平面と言うものは

平行な時　交わるとき　

　さらに　平行な　2平面に　

もう1平面が　交わるときなど

こんな感じになりますです


02


空間における

直線の場合は

‭平行な時と　交わるときは

同一平面



ねじれの位置の時は

同一平面にない



03

直線と平面の垂直

平面に　垂直な直線は

その平面上にある　全ての直線と
垂直


04


３垂線の定理

こうなるんだって


05


空間座標の表示の仕方は

こんな感じ


ここは　怖がらなくてもいいので


06


ここは　ちょっと　苦手な人もいるのかな

点と直線の距離





分点座標　


この分点座標で

外分ていうのが　あるですが


外分を　マイナスを　付けて

内分の公式に　入れればいいので


07

実際にやってみると








08

こんなカンじで



09


マイナスを　付ける方を入れ替えても


10


同じだね


11


球の方程式


12

もんだいは

こんな感じのものが出るらしい

いきなり


3垂線の証明問題


13

三角形を　作って

合同を利用して

垂直を　導いてくんですが


14





三角形OQM　と　三角形OQN

二辺夾角相当により

合同


ここから

OM=ON




15

三角形POMと　三角形PON

ちょっと　図がですよ

まわして

何やってるんだ

まわして


で

二辺夾角相当により

合同

であるから

PM=PN



16

したらば

三角形PQM　と　三角形PQNで

三辺等しいので

合同


すると

∠PQM　＝　∠PQN　＝　∠R

であるから


PQ　⊥　L　　　である




17

次はですね

直線a,bの　なす角を求めよ



18


（1）は

上から　見ると


対角線

正方形の　対角線になるわけで

90°



19

正四面体


これはね

MN　PQが


ソレゾレ

三角形ABC　と　三角形ACD

という　平面の中に　ある


空間において

直線が　平行な時は

同じ　平面上にある




20

空間に　戻すと

正四面体の　AC　と　DC　の　なす角に等しいから


60°


21

これも　少し

移動すれば



22


ここに　補助線を入れれば

三角形が　できてきて

三辺の長さが　等しいわけだから

なす角は　60°



23

正四面体の問題

図の　MN　のながさを　求めなさい



24




MN　を　求める為

三角形ANC　と　三角形AND

で

三辺が等しく　合同であるから

ピタゴラスの定理で

ANの長さ



25

同様に


26


BNの長さ

が出て来て

そこから

三角形NMA　と　三角形NMB


が　合同であるから



27

ピタゴラスで


こうです


28

空間座標は　ｘ、ｙ、ｚの

ここでは

a、ｂ、ｃの　互いに　直交座標


次のものを

求めるのですが


29
三角形ABCの面積


面積の　公式は

こんなだから


ここで

部品を　作ると



30

三角形　OABの面積を

利用して


31



また　分かってる

直交座標から

ABを求めて



32


であるからに

ODの長さは


しかるに

CDの長さは



33

で

出てきた　�Bと➀を


使って



34

三角形ABCの面積は


35

体積を　だしておいて

さっき

求めた　三角形　ABCを底面にした


四面体の　高さが

ちょうど　OH　であるから




36


ここに

当てはめて


37

整理したらば

これでいいのだ





お疲れ様です。

平面のベクトル方程式



01

平面は　どうやって　

表現すればいいの

ということの問題です

02

題意に出てくるのは
Ｘ0　a　ベクトルですが

Ｘ0を　通って　aベクトルに

垂直な　平面のベクトル方程式


平面上の　点を　Xとすれば


Ｘ0　X　　ベクトルと

aベクトルは　垂直


これを　内積で　表せば　じゃナイスカ







03

これが

平面の　ベクトル方程式



04
さらに

‌具体的に値を

文字を　使って

当てはめて

内積の　成分で　展開すれば



05

イメージ的には

こんな感じで


ナタメ

これで十分



06


もう一度

まとめて　整理しますと

こんな感じで



07

一定のベクトル　OHに対して

次のような　等式があるとき


ベクトル　OP　の　終点は

どんな　図形上にあるか


平面と　空間で　場合をわけて

答えなさい



08


内積の　中の式に

変形式を　代入するんですが


PHを考えて

そこから

移行して

OPは　

こんなだから


09

内積を　成分で

展開して


題意より

その値が　絶対値OH二乗


整理したらば


この式の　意味するものは


10


平面だ考えると

まず　OHベクトルありき


そこへ


PHベクトル　が　OHに　垂直になる

と言う意味だから


題意は

OPの終点は　


であるから

点Hを　通り　OHベクトルに　

垂直な直線



11

空間の時も

式変形は

基本的に　ほとんど

同じ

少し　変えてあるけど



12

一定の　ベクトルOHがありき

そこに

空間において


HP　ベクトルが

OH　ベクトルに　常に

垂直であるのだから



点Hを通り　OH
ベクトルに　垂直な　平面を描く

紙面では　点Hを通り　が

抜けてましたが

点Hを　通りと　

ちゃんと書いてください



13

原点Oから　

平面πに　おろした垂線の

方向余弦が　（L,m,n）

OPの長さが　Pの時


平面πの方程式



方向余弦とは

ここでは

OPを　ｘ、ｙ、ｚ　成分に

分解した　単位ベクトル


14

OPベクトルの　長さは　P

eは　単位ベクトルだから

多さが　1なのだから

P倍すれ

OP の成分



15

平面上の　任意の点を　Xとすれば


PXベクトルは

ｘベクトル　-　OPベクトル

であるので


その　べくとると　eは

垂直を　内積で　表して



16
内積の　成分で

展開してくでしょ


半径　ｒの球の　方程式で


半径を　1にすれば



17

計算してくと

ここに　落ち着いて



18


成分を　


代入して

内積を　展開すれば


なったじゃナイスカ


あ　証明の時

なったじゃナイスカ　とか

答案に　書かないでね


わかてるとおもうけどさ


であるからとか


ゆえに　とか



19

今度は

実際に　値があるですが


行ってみましょう



20

図にすれば　こんなデショ

ここで

平面に　垂直なベクトルが

必要なので

点Ａを　通るように

平面に垂直なベクトル

ＡＱを作って


ＯＱベクトル　（位置ベクトル　）


Ｑ（a,b,c)

すると


21


まず平面上の　ベクトルの成分を

計算するでしょ

ＡＢ、　ＡＣ



22



次に　ＡＱの　成分を

計算するでしょ



23


これらの


ＡＢとＡＱ

ＡＣとＡＱ

が　垂直　これで

条件式をつくって





24


ここから

a,bを　ｃで表し



25



まず　a



26

次に　b



27

ここからなんだけど

ここからだからさ


平面上の　任意の点Ｐ


ｘ、ｙ、ｚ





ＡＰを　成分計算して



28


平面の方程式は　平面上のベクトルと

平面に　垂直なベクトルが

垂直

内積＝０

で

出るのだから



29

その前に

ＡＱベクトルに

a=c+2


b=c+1


を　代入したらば



30

これでさ
Ｃがゼロでないから

で

やくして

条件


31

どうやって

ｃはゼロでないを　言うのか





32

ｃ＝０だったとして


ｃは　ＯＱの成分の一つだから

実際に

成分が　どうなるか

代入してみたらば


ｃ＝０　で

計算すると

ＯＡ　ベクトルと　一致してしまい

Ａを通り　


平面に垂直な　ＡＱを　作ったのだから

仮定に　反してしまう


ナタメ


ｃは　ゼロでは　ない


33



ナタメ

条件は　これです



34


点と　直線の　距離の

公式を　証明する問題



35

題意に　平面の方程式があるのだけれど




aベクトルと　ｘベクトルが

あるとき

この　内積は

こんなデショ

なので

平面の方程式は

こう書けるよね







36

点Ｐから

平面に　おろした　垂線の足をＨ

とすれば



37


ｈはｘと　同じ　平面上なので


38


また　ＨＰベクトルは

平面に垂直なaベクトルの　実数倍




39



平面の　方程式に　代入して



40

展開して


ＨＰベクトルの大きさが

が点と平面の　距離




ＨＰ＝　絶対値　Ｋaベクトル

Ｋ（aベクトル二乗）が出ているので


それを　絶対値aで
　　

割れば


距離なので

マイナスじゃなくて

絶対値を付けて


41


こんな感じで





お疲れ様です。