2022年07月14日
28040 大人のさび落とし 平面のベクトル方程式
平面のベクトル方程式
01
平面は どうやって
表現すればいいの
ということの問題です
02
題意に出てくるのは
Ｘ0 a ベクトルですが
Ｘ0を 通って aベクトルに
垂直な 平面のベクトル方程式
平面上の 点を Xとすれば
Ｘ0 X ベクトルと
aベクトルは 垂直
これを 内積で 表せば じゃナイスカ
03
これが
平面の ベクトル方程式
04
さらに
具体的に値を
文字を 使って
当てはめて
内積の 成分で 展開すれば
05
イメージ的には
こんな感じで
ナタメ
これで十分
06
もう一度
まとめて 整理しますと
こんな感じで
07
一定のベクトル OHに対して
次のような 等式があるとき
ベクトル OP の 終点は
どんな 図形上にあるか
平面と 空間で 場合をわけて
答えなさい
08
内積の 中の式に
変形式を 代入するんですが
PHを考えて
そこから
移行して
OPは
こんなだから
09
内積を 成分で
展開して
題意より
その値が 絶対値OH二乗
整理したらば
この式の 意味するものは
10
平面だ考えると
まず OHベクトルありき
そこへ
PHベクトル が OHに 垂直になる
と言う意味だから
題意は
OPの終点は
であるから
点Hを 通り OHベクトルに
垂直な直線
11
空間の時も
式変形は
基本的に ほとんど
同じ
少し 変えてあるけど
12
一定の ベクトルOHがありき
そこに
空間において
HP ベクトルが
OH ベクトルに 常に
垂直であるのだから
点Hを通り OH
ベクトルに 垂直な 平面を描く
紙面では 点Hを通り が
抜けてましたが
点Hを 通りと
ちゃんと書いてください
13
原点Oから
平面πに おろした垂線の
方向余弦が （L,m,n）
OPの長さが Pの時
平面πの方程式
方向余弦とは
ここでは
OPを ｘ、ｙ、ｚ 成分に
分解した 単位ベクトル
14
OPベクトルの 長さは P
eは 単位ベクトルだから
多さが 1なのだから
P倍すれ
OP の成分
15
平面上の 任意の点を Xとすれば
PXベクトルは
ｘベクトル - OPベクトル
であるので
その べくとると eは
垂直を 内積で 表して
16
内積の 成分で
展開してくでしょ
半径 ｒの球の 方程式で
半径を 1にすれば
17
計算してくと
ここに 落ち着いて
18
成分を
代入して
内積を 展開すれば
なったじゃナイスカ
あ 証明の時
なったじゃナイスカ とか
答案に 書かないでね
わかてるとおもうけどさ
であるからとか
ゆえに とか
19
今度は
実際に 値があるですが
行ってみましょう
20
図にすれば こんなデショ
ここで
平面に 垂直なベクトルが
必要なので
点Ａを 通るように
平面に垂直なベクトル
ＡＱを作って
ＯＱベクトル （位置ベクトル ）
Ｑ（a,b,c)
すると
21
まず平面上の ベクトルの成分を
計算するでしょ
ＡＢ、 ＡＣ
22
次に ＡＱの 成分を
計算するでしょ
23
これらの
ＡＢとＡＱ
ＡＣとＡＱ
が 垂直 これで
条件式をつくって
24
ここから
a,bを ｃで表し
25
まず a
26
次に b
27
ここからなんだけど
ここからだからさ
平面上の 任意の点Ｐ
ｘ、ｙ、ｚ
ＡＰを 成分計算して
28
平面の方程式は 平面上のベクトルと
平面に 垂直なベクトルが
垂直
内積＝０
で
出るのだから
29
その前に
ＡＱベクトルに
a=c+2
b=c+1
を 代入したらば
30
これでさ
Ｃがゼロでないから
で
やくして
条件
31
どうやって
ｃはゼロでないを 言うのか
32
ｃ＝０だったとして
ｃは ＯＱの成分の一つだから
実際に
成分が どうなるか
代入してみたらば
ｃ＝０ で
計算すると
ＯＡ ベクトルと 一致してしまい
Ａを通り
平面に垂直な ＡＱを 作ったのだから
仮定に 反してしまう
ナタメ
ｃは ゼロでは ない
33
ナタメ
条件は これです
34
点と 直線の 距離の
公式を 証明する問題
35
題意に 平面の方程式があるのだけれど
aベクトルと ｘベクトルが
あるとき
この 内積は
こんなデショ
なので
平面の方程式は
こう書けるよね
36
点Ｐから
平面に おろした 垂線の足をＨ
とすれば
37
ｈはｘと 同じ 平面上なので
38
また ＨＰベクトルは
平面に垂直なaベクトルの 実数倍
39
平面の 方程式に 代入して
40
展開して
ＨＰベクトルの大きさが
が点と平面の 距離
ＨＰ＝ 絶対値 Ｋaベクトル
Ｋ（aベクトル二乗）が出ているので
それを 絶対値aで
割れば
距離なので
マイナスじゃなくて
絶対値を付けて
41
こんな感じで
お疲れ様です。
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