2022年06月29日
大人のさび落とし 幾何への応用 28039
01
正三角形を 4枚 張り合わせると
正四面体
その 正四面体に ついての問題
02
図を 書いてみると
こんな感じ
今回は 点Dを 原点にすれば
楽なので
こんな感じで
位置ベクトルを 設定して
03
AB と CD の 垂直かどうかは
内積で けいさんするのですが
先ず AB CD を 位置ベクトルで
表現して
内積を 計算すると
04
こんな感じなのですが
これでは まだ ＝０ になってないので
題意より
正四面体なので
すべて 辺の長さが 等しい
鱗辺との なす角が ６０度
05
ちゃんと マイナスが 片方に
付いてるじゃナイスカ
＝０
06
こっちもですよ
Cベクトルの半分と
OA OB の中点
の 分点ベクトル
07
AB の方は
こんな感じで
内積の計算を
してきますと
08
やくせる とこ やくして
題意より
正四面体 であるのだから
一辺を が長さ Lにしてみると
09
＝０
オッケイ
10
次は
この 四辺形 PQRS が
正方形であることを
いうんですが
こんな手順で
対辺が 等しい
ベクトルで 書いてあるから
同時に 平行も言ってる
鱗辺の 長さが 等しいか見る
そして
鱗辺のなす角が 垂直を 確認する
11
ベクトルを 位置ベクトルで
表すと
PQは
12
SRは
PQベクトルと SRベクトルは
ひとしい
平行 大きさが 同じ
13
QRは
大きさなので
マイナスは
方向の意味なので
絶対値で
対処して
14
題意より
全て 辺の 長さが ひとしい
＝L とでもすれば
15
長さにおいては
対辺PQとSR
隣辺PQとQR
同じ
PQとQRが 垂直か 調べると
16
まず PQベクトル
17
ついで QRベクトル
18
内積を 計算すると
題意より
辺の 長さ
が 等しいから
＝０で
垂直が言えた
19
なので
正方形
20
今度は
四面体
OA⊥BC OB⊥CA
⇒ OC⊥ABであることを
証明せよ
21
位置ベクトルを
こんな感じに
設定して
題意から
次の 2つの 内積が ＝０
22
OA BC を 位置ベクトルで
表現して
内積の計算を する
これが ＝０
23
もう一つ
OB CAを 位置ベクトルで
表現して
内積を 計算する
これが ＝０
24
それで
本題の
内積を計算していくと
OC AB を 位置ベクトルで
表現して
内積を 計算した結果
こんなだから
25
➀の条件式から
書き換え
26
②の条件式から
書き換え
それで
OCとABの内積は ＝０
したがって
OC ⊥ AB である
27
今度は 直方体
位置ベクトルを
こんな風に 設定して
直方体の断面でできる
三角形 DACの 重心を Kとすれば
重心は こんなで
OFは 重心Kを通る
これらを
証明せよ
28
図は こんな感じで
ACの中点をMとすれば
OMベクトルは
へてから
OMベクトルと ODベクトルの
分点ベクトル
DMを ２：１に 内分する点が
重心になるのだから
29
なったじゃナイスカ
30
今度は OFベクトルを 求めていけば
OF が ｋを 通過するならば
O.K.F が 始点が同じで
実数倍になるはずだから
成ってるよね
31
今度は
立方体
断面が 三角形ABCになるように
したときに
三角形ABCの平面は
ODに 垂直であることを言え
32
まず
ODを 位置ベクトルで表すと
ベクトルは
自由に 平行移動して
考えていいので
CDベクトルは
OAベクトル+OBベクトルと 同じこと
33
三角形ABCの 平面についてみるので
三角形の 鱗辺の なす角 がある
平面
の 一辺 AB と AC につて
位置ベクトルで 表現して
34
まず
ODとABの 内積
35
ODとACを 位置ベクトルで
表現して
36
ODとACの内積
37
ここで
題意より
立方体であるから
辺の長さが ひとしい
それと
OAとOB OAとOC OBとOC
の内積が ＝０
38
そうしたらば
三角形ABCの辺ABと辺ACのなす
平面に対して
AB AC の 連立 内積が =0なので
39
OD ⊥ 三角形ABC である
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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