2022年09月07日
22004 大人のさび落とし 空間座標とベクトル 球の方程式
空間座標とベクトル
球の方程式
01
空間に 直径の両端にあたる
2点の 座標が 示されている
この 球の方程式は？
また
この球が ｘｙ 交わる図形の
方程式 および
その 図形で囲まれた
面積は？
02
球の 方程式の
標準形は こんなでしたから
これは 中心の座標と
半径の大きさが
わかれば 出る
03
直径の両端が
分かってるので
中点の座標を 求めて
球の中心
直径の片方側
原点と中心の距離は
半径になるから
04
半径は 13
球の中心も分かってるので
球の方程式は
こんなです
05
これが
ｘｙ 平面と交わるには
ｚ座標が ゼロ
ｚ＝0を 代入したらば
円の方程式
06
半径が ５だから
パイ アール 二乗
で
25π
07
球の中心座標と
半径が わかる様に
一般形を 標準形に
する問題
08
平方完成してくと
09
なので
中心の座標 と半径が
出て来て
10
球の方程式を
求める問題
球が ｘｙ平面と交わるとき
の ｘｙ平面にできる円の
中心と半径
球が ｘｚ平面と交わるときの
中心が わかってる時
球の方程式を 求め
この球と
x軸との交点を
求めなさい
という問題
11
求める 球の方程式を
こんな感じにして
ｘｙ 平面の切り口は
ｚ＝０
であるから
いくつかは
わからないけど
ｚ１ の 二乗を ｒ二乗から
引いたものが
半径になる形で
ｘ１ と ｙ１は
そのまま
12
であるから
これらから
13
ｘ１＝１ ｙ１＝２
r二乗ー ｚ1二乗 ＝20
と
ｘｚ平面
との交わりが
14
だから
ｚ１ は このまま ｚ１＝４
15
そうしたらば
元の球の半径は
プラスマイナス６ だけど
半径なので
正の数でないと いけないから
ｒ＝６
16
なので
球の方程式
半径
は こんなです
ｘ軸との交点は
17
５ と まいなす３
であるから
座標で
こんな感じに
18
二点 Ｏ と Ａに関して
ＰＯ：ＰＡ＝２：１
になる Ｐに軌跡は？
19
内項の積 ＝ 外項の積
二点間の 距離の 公式で
20
ＰＡ
ＰＯ
がこんなデショ
21
条件式を 辺々二乗して
代入したらば
22
展開して
左に 集めて整理して
今度は
円の式の標準形に持ってくと
23
平方完成して
24
こんな感じ
25
この軌跡は
球になり
球の中心 と 半径は
こんなです
26
四面体があって
こんな感じに
角度の 条件がついていて
この
各頂点を 通る
球の半径を
求めなさいと
27
図にすると
直交座標系に
成ってるじゃナイスカ
そこで
28
ｘ、ｙ、ｚ軸に
重ねる形にしておいて
O,A,B,Cの 座標と
球の一般形を
こんな形にすれば
この ４点を
通るのであるから
29
代入してくと
Oを
代入したら
Ｋ＝０
30
Ｋ＝０が出たので
Aを 代入してくと
Ｌ＝－a
31
Bを
代入したらば
ｍ＝－ｂ
32
Cを 代入したらば
ｎ＝－ｃ
33
であるから
球の方程式は
34
一般形を
展開して
標準形に
整理してきますと
35
こんなですよ
題意は
球の半径を 求めよ
であるから
こんな感じで
お疲れ様です。
