2022年09月02日
22003 空間座標とベクトル 分点 重心
大人のさび落とし
分点 重心
01
四面体は辺が 6っ本あるので
立っている部分
底面の部分
ソレゾレ
辺の中点を L,M,N,P,Q,R
とすれば
LP,MQ.NRは
一点で 交わり
さらに 互いに他を 2等分する
これを 証明するのに
02
座標を 使わないとき
今回 平行四辺形を
使って
その性質から
対角線は 互いに 他を
2等分するを使って
証明してきますと
（LP,MQ.NR）
LP,.NR を 対角線にもつ
平行四辺形
LNPR
どうして
平行四辺形か と言えば
LNとRPに関しては
三角形ABC 訂正
三角形ABD
と
三角形CDBは
平面が交わっているので
BDが 共有直線
三角形 ABD において
L,Nは AB 、ADの中点であるので
LN 平行 BD
03
三角形 CDBにおいて
R、Pは
BC,CDの中点であるから
RP平行BD
LN 平行 BD
RP 平行 BD
から
LN平行RP
・・・・・・・
平行四辺形
LNPR
LN平行RPが言えたから
今度は
三角形ACD と 三角形ACBで
ACは共有直線
04
三角形ACDで N、Pは それぞれ
DA、DCの中点であるから
NP 平行 AC
三角形ACBで L,Rは それぞれ
AB、CBの中点であるから
比の値より
LR 平行 AC
NP 平行 AC
LR 平行 AC
より
NP 平行 LR
05
あるから 四辺形LNPRは
対辺が 互いに 平行で
LN 平行 RP NP 平行 LR
になっているので
平行四辺形であり
平行四辺形であるから
対角線は 互いに
他を 2等分する
より
（LP,MQ.NR）
LP,と NR は 互いに
他を 2等分する
06
同様に
視点を変えて
四辺形MNQRが
平行四辺形になることを
一組筒
対辺が 平行になってることを
示すため
MN 平行 CD
07
RQ 平行 CD
MN 平行 CD
RQ 平行 CD
MN 平行 RQ
08
平行四辺形の
もう一方の対辺も
同様にして
ふたつの 三角形と
交わっている 共有直線
二つの三角形の 共有直線以外の
それぞれの 2辺の 中点から
比の値により
平行である に持ち込み
09
四辺形MNQRの
もう一組の
対辺が QN 平行 RM
より
四辺形 MNQRは 平行四辺形であるから
10
同様に 四辺形LMQP にかんして
三角形ABC と 三角形DBC
は
BCを 共有直線とし
三角形ABCの側は
LM 平行 BC
11
三角形DBC の側は
QP 平行 BC
であるから
LM 平行 BC
QP 平行 BC
LM 平行 QP
12
また 四辺形LMQP にかんして
三角形CAD と 三角形BDAより
三角形CADの側は
MP 平行 AD
三角形BADの側は
LQ 平行 AD
MP 平行 AD
LQ 平行 AD
より
MP 平行 LQ
13
したがって
四辺形LMQP は 二組の
対辺が 互いに平行であるから
平行四辺形であり
平行四辺形であるから
対角線は 互いに 他を2等分する
ので
LP,MQ.は 互いに 他を2等分する
・・・・・・・・・・・・・・
➀
平行四辺形LNPRから
LP,と NR は 互いに
他を 2等分する
・・・・・・・・・・・・・・・・
②
MNQRが
平行四辺形になることから
対角線は
互いに 他を 2等分する
（LP,MQ.NR）
MQ.NRは 互いに 他を2等分する
・・・・・・・・・・・・・・・・・
③
四辺形LMQP は平行四辺形であるから
対角線は 互いに 他を2等分する
ので
LP,MQ.は 互いに 他を2等分する
・・・・・・・・・・・・・・・・
14
➀②③
より
LP,MQ.NR は
一点で交わり 互いに他を2等分する
証明終わり
15
この同じ問題を
16
座標を 使って
説明すると
LM,MQ,NRが 一点で
交わり
互いに 他を2等分する
というのは
それぞれの 中点を計算して
中点が
3っつとも 一致すればいいので
計算してみると
17
LPから
L 、Pは それぞれ
AB 、 CD の中点
18
この 中点を 結んだ 線分の中点を
G1とすれば
G1は
19
同様に
MQの 中点
M 、 Qは それぞれ
AC,BD の中点
ＭＱの中点を Ｇ２とすれば
Ｇ２は
20
同様にして
ＮＲも
Ｎは ＡＤの中点
Ｒは ＢＣの中点
ＮＲの中点をＧ３とすれば
21
Ｇ３は
ナタメ
ＬＰ，ＭＱ、ＮＲ
の中点 Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３が
ことごとく 一致するので
22
先ほどの 証明と 同じことが言えた
23
問題を 読んでいただいて
24
座標を こんな感じに 設定して
25
内分点
Ｐ 、Ｑ を
26
計算すると
27
ソレゾレ
出てきたところで
28
ソレゾレ 三角形の重心に
重なるか 計算来ますとして
三角形ＢＤＥの重心は
29
三角形ＣＦＨの重心は
であるので
オッケイ
30
問題
フィル インザ ブランクス
31
それぞれ
中線の足を
Ｐ，Ｑ，Ｒ と置いて
ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ
二点間の距離を
計算して
一番長いものをじゃナイスカ
32
ここで
二点間の 距離は √の形で
出てくるので
√の値が 違ってくると
近似値を 使わないといけない
そこで
そんなことを しないように
二乗の形で 計算すれば
33
まず それぞれの 中点
Ｐ
34
ＡＰの 二乗は
35
中点Ｑ
36
ＢＱの二乗は
37
中点Ｒ
38
ＣＲの二乗は
39
一番長いのは
ＡＰ
だね
だから 頂点Ａ
からのものが 一番長い
40
問題を読んでいただいて
41
座標を使って
42
証明方法として
実際に 計算してみて
確かに そうであったと
実証する形でじゃナイスカ
頂点Ａに対する
対面の重心は
三角形ＢＣＤの重心
空間の三角形の重心Ｇ１を
計算すると
43
次に 頂点Ａと Ｇ１を
3対１に 内分する点を
計算すると
44
こんな値になったよ
45
頂点Ｂと対面する面の重心をＧ２
とすると
Ｇ２は 三角形ＡＣＤの重心
46
ＢとＧ２を
3対１に 内分する点を
計算すると
47
頂点Ｃと対面する面の重心を
Ｇ３として
Ｇ３は三角形ＡＢＣの重心であるから
48
Ｃ と Ｇ３を
3対１に 内分する点を
計算すると
49
こんな値
50
最後に 頂点についても
対面の 重心をＧ４ とすれば
Ｇ４は 三角形ＡＢＣの重心であるから
51
こんな値
52
ことごとく 一致するので
53
実証できたと
お疲れ様です。
