2022年06月08日
28037 大人のさび落とし 複素数と ベクトル
01
原点 O を 中心とする
位置ベクトル OA OB があって
ABを 一辺とする
正三角形を 作ると
OC ベクトルの 成分は
どうなるか
02
正三角形ABC の C は
2通り 考えられ
辺AB の 上側 と 下側
BAベクトルは
位置ベクトルの引き算で
（-2,2）
これは
図に書き込めば
赤い所
ちゃんと OA-OB を
計算したんですが
結果は
原点Oの位置ベクトルの形で
与えられます
03
今引いた
赤いベクトルを
OA' とすれば
BA＝OA'
正三角形の 辺ABの上側に
C (x,y) が あるとすると
04
BC ベクトルは
計算結果は OC'
ちゃんと
OC-OB を 計算しましたが
答は 点Oの 位置ベクトルの形
になります
05
そこで
C (x,y)は
OA'を 60度 回転させたものと
重なる
ことになるから
直角座標 カーテシアン座標系を
複素平面のそのまま取り込んで
06
複素数の 表示に
直すでしょ
で
回転させると
07
先ず 時計回りから
マイナス回転
08
マイナス 回転したものが
OC'に 重なるのだから
09
複素数の展開の仕方で
10
左辺 ＝ 右辺を
虚虚 実実 で 計算して
11
出てきた ｘ、ｙを
カーテシアン座標系に 戻して
これが 時計回り 60度
12
反時計回りも
こんな感じの 図ですが
Cを （x、y）とすれば
BC ベクトルは さっきと同じ
13
今度は なす角 プラス回転
60度
14
さっきの 様に
15
計算は 間違うと
もったいない
日頃から
計算してないと
てきめんに 計算力は 落ちる
16
出てきた ｘ、ｙを
虚虚 実実 で求めて
17
これで
整理すると
18
C の 位置ベクトルの成分は
二通り
19
ベクトルがあって
この ベクトルと
45度の角を なすベクトル
の
単位ベクトル
を 求めよ
ベクトルの大きさは 絶対値
単位ベクトルは
各成分 ここでは ｘ、ｙを
絶対値で 割った成分
20
カーテシアン座標を
複素平面に取り込んで
回転させて
出てきた
複素数を
カーテシアンの成分にして
ｘ、ｙ 成分を ベクトルの
絶対値で 割ればいいのだから
行ってみましょう
21
絶対値から求めておいて
22
今度は
複素平面に取り込んで
回転して
23
回転方向で
COS SIN の 符号は
こんなだから
24
先ず
プラス回転
25
複素数の計算で
26
出てきた 複素数を
カーテシアン座標に
戻して
これは まだ
単位ベクトルではないから
もう一つ 出してきてから
成分を ベクトルの
絶対値で 割ればさ
27
マイナス回転も
28
複素数の計算
29
さっきと 反対みたいに
成って出てきたね
30
カーテシアン座標に
戻して
31
ソレゾレ
単位ベクトルは
ベクトルの絶対値 で
ｘ、ｙ 成分を 割れば
32
有理化して
こうです
33
次の問題は
今の問題の
続きの （２）なんですが
？？？
なんやねん？？？
読んでね
点これこれを
とおり
この媒介変数表示の
直線と 45度のなす角を持つ
直線の方程式を
求めよ
34
媒介変数表示は
ｔを 消去すれば
直線の方程式になるのですが
媒介変数表示の意味合いは
tの前の aとbが
傾きのx成分y成分
方向角で 表すこともありますが
35
そこで
この
媒介変数表示の直線の
方向を 知るべく
傾きから
直線に 平行な 位置ベクトルを
抜きだすと
36
位置ベクトルの
絶対値も
求めると
37
この直線の
位置ベクトル になっていて
どこかで 見ませんでしたか
分かんない
（１）で
全く同じ ベクトルと
さらに それに なす角４５の
単位ベクトルを
すでに （１）で
解答済み
38
つまり
媒介変数表示で 与えられた
直線に なす角45の
単位ベクトルは
すでに 求まっているので
ぎゃくに
媒介変数表示の
やり方で
点 (1、√３）を通り
この （１）の 単位ベクトルを
もつ 直線を
求めればいいのだから
39
整理すると
40
媒介変数表示で
直線の方程式を書いて
41
この二組から
ｔを 消去した
2つの方程式が
答
42
➀の方は
43
②の方は
44
答は
この2本
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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