2022年03月25日
28031 大人のさび落とし ベクトルの内積 垂直条件
ベクトル 内積 垂直条件
01
三角形の 垂心が 一点で 交わることの証明問題
問題文は コレ
02
三本が いきなり 交わるを言うのは
むずかしい
しかし
2垂線
なら すぐ交わるでしょ
残りの 一本が
頂点から 交点を 通ったとき
対辺に 垂直ならば
3本とも 一点で 交わることになる
03
先ず 設定から
基本になるベクトルを
3っつ 設定して
題意の 垂直条件を 表す 内積は
04
この 2垂線の交点Hを 通る ➀式の内積が
イコール ゼロ なら
垂直が言えるわけで ：➀式
これだけでは 条件式が 足りないので
05
他の 2垂線の 成立済みの 垂直条件を
内積に 取り込むと
06
ここで
条件式から ②が
07
ここで 条件式から ③
08
➀式の 内積の計算は
09
②③式から
③を③’に変形して
10
② － ③’は
この結果から
➀式の内積が イコール ゼロ
11
したがって
三角形の 各頂点からの 3本の垂線は
１点で 交わる
12
内積の 復習
絶対値の計算
13
内積の復習
14
なす角の求め方
15
絶対値 2乗
16
内積の 計算法則
17
問題
読んでいただいて
18
外心は 中心から 各頂点まで
等距離
ベクトルの 計算で
BCは これ
問題は AH
19
AHが これだとわかったら
内積の 計算を するでしょ
20
外心は 中心から
各頂点まで 等距離でしたから
21
問題
22
さっきと同じで
OBベクトルーOCベクトルは
CBベクトル
三角形の一辺だから
これに もう一方の式の値が 垂直
二等辺三角形と 仮定して
22
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BCの中点を D とすれば
24
条件式に代入して
式変形すると
25
こんな結果になったので
これは
2等辺三角形
26
問題を 読んでいただいて
27
成分を 考えるじゃナイスカ
28
成分を だして
二乗は 絶対値の 二乗だから
絶対値の計算を しておいて
二乗して √が はずれて
29
内積じゃなくて
成分の 展開
30
同じように
ACも 絶対値を 計算して
二乗して
ルート を 外して
成分の 展開
31
条件式に 部品を 代入したら
32
こんな式が出て来ました
この式が 成り立つときに
題意では
OAベクトル 垂直 BCベクトル
33
OA BC の 内積を 計算すると
34
先ほどの 条件式からの 式を 移行して
整理すると
内積の答えは イコールゼロ
OA も BCも ゼロでないとき
内積が ゼロなので
OA と BC は 垂直である
34
35
問題を 読んでいただいて
これはですね
手こずりました
36
まず 題意から 条件を出していって
37
➀②③④⑤⑥ の 条件式
正方形だからさ
38
ソレゾレ
内積の成分を もとめておいて
計算するじゃナイスカ
39
整理してくと
40
ここまで来たらば
値の 等しいとこを 確認して
（ 正方形の 辺の 長さ）
そうしたらば
同じになるからさ
＝ ０
で
垂直
41
次は
これを 証明するんだけど
42
平方しておいて ルートを とったり
数学では よく使う手ですので
やってみますか
43
２AMの方も
44
2式を つらつらと
見比べて
45
プラス マイナス の 違うのはと
46
絶対値の方は
大きさが 同じもの同士を
確認して
こんな感じに 成るよと
47
お医者さんに ヒントを
もらうこと多い私です
あるドクターは
円の問題は よくやった方がいいよ
また
あるドクターは
みんな 三角関数は あんまり 得意でないから
サインコサインタンジェントで
相手が ひるんだすきに 考えてさ
48
ともかく
実際に 代入して 値を 見るとですよ
コサインは
ｘ軸
プラスに なるとき
マイナスになるとき
制反対に 成ってて
まんなかの 90度は 共に ゼロ
49
計算値 は イコールになる
両辺の ルートを取って
証明終わり
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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