この広告は30日以上更新がないブログに表示されております。
新規記事の投稿を行うことで、非表示にすることが可能です。

ポイントをつかめない、応用問題が解けない、手がつかない


　子どもの勉強を見ていて”おや”って思うことに一つに応用問題が解けないことがあります。できる問題はいきなり式を書き始めて解いたか、と思いきや、ちょっと変わると、全く手が動かない。なにも書いていない。でも聞いてみると、考えている、とのこと。考えているのなら、キーワードを書き出したり、問題文から絵や図くらい書いてもよさそうにみえるが、全くなにも書いていない。結局、考えている様ですが、どこから手をつけていいかわからない、とのこと。
　結局、今までやったことがある問題の類題そのものはできるのですが、いままでやったことがある問題のいくつかが合わさった問題になると手がつかない。習ったことのある問題が解ける子の成績は中より上であるが、その様な子と最上位の子との差がそこにあります。その様な子は真面目に勉強していて、知識は十分にあります。真面目に勉強していますので、計算力もあります。なんとか最上位の仲間に入る様に指導できれば、と思い、いろいろと教え方を考えています。
　今はデータの整理の仕方を中心に教えています。ポイントを掴む方法です。
　　�@　キーワード、数値、に印をつけ、絵、図など書いて、概要・ポイントをつかみます。
　　�A　それに合せて、必要であれば表を作成します。
　　�B　仮定はなにか・仮定からわかるもの・求めるものなにか・なにがわかれば求まるかの明確化

　特に、３つの数量があり、その３つにある関係があるものがよく出題されます。
　基本問題では、２つの数量がわかっていて、他の一つを求める問題。
　標準問題では、２つの数量がわかっていて、他の一つの数量からまた別の数量を導く問題。
　応用問題では、標準問題のステップ数が増えたり、数量の言い換えがあったりして、ちょっとした発想により導く問題。


　子どもをみていると、基本問題だけは解けるのですが、標準問題、応用問題となると解けなくなります。その原因の一つとしては、子どもはまず基本問題を解くために、数量の意味を理解する前に計算式を先に覚えます。それでわかった気になってしまっています。問題の意味を考えて解いているのではなくて、解法にのっている式に代入しているだけです。ちょっと問題文の表現が変わると適当に数字を計算式に当てはめて意味不明な答えを出してきます。計算式に当てはめる前に、例えば足したり引いたりしなければならない数があることがわかりません。入試直前はある程度仕方ないとしても、できるだけ意味を理解して問題を解いてもらいたい、と思う今日この頃です。

方程式を教えていておやっと思った。


　中学生に方程式を説明するときは、”まず方程式とは”から説明します。簡単に次の様に説明します。
　”文字を含んだ式で、その文字に数字を入れて、その式が成り立ったり成り立たなかったりする式を方程式というよ”
　”そこでその式が成り立つときに入れた数字を解といって、解を求めることを解くっていうよ”
　塾の教材にもそのまま書いてあります。塾からの研修では、そのまま読んで指導する様に、と私は指導を受けています。確かに、優秀な先生方の経験に基づいた説明でしょうから、アルバイト講師がその場で考えた説明でも分かり易い場合が多いことは確かです。塾教材を使って教えていて、特に感心したことは中学生の間違えるパターンを見事に指摘している。これだけ間違え方がわかっているのだったら、学校での指導方法にフィードバックできそうな気もしますが、現実はできていませんので、塾が繁盛しています。塾の考えられた教材なので教え方も、と思ったらそれはちょっと違う様です。
　成り立つってどういうこと？って質問されました。私は、”左辺と右辺がイコールで結ばれているので、左辺と右辺が同じ値になるってことが、この式が成り立つってことだよ。”と説明しました。しかし、生徒はわかった様な顔をしてくれなくて、変な顔をしています。私が思いつくあらゆる文言と実際の例を示して説明しましたが、この説明だけで、２０分はかかりました。なんとかわかった様な顔をしてくれました。
　今まで”成り立つってどういうこと”という質問を受けたことはなかったが、子どもが気をつかって質問しなかったかもしれない。そこで、別の子に、方程式の説明をしたあと、”成り立つってどういうことかわかるか？”と逆に子どもに質問してみた。戸惑っている子どもに、成り立つってわからない子がいることを話して、わからないと言い易い雰囲気にすると、”わからない”との返事が返ってきた。この２人の子どもの数学の成績は平均的な成績です。平均的な子が数学の説明で、その言葉でひっかかって数学を理解できないでいます。

　教える側はわかっている言葉でも子どもはわかっていません。私自身が中学生のとき、どの言葉につまずいたかは全く覚えていません。私にとっては驚きですが、考えてみれば当然です。教えるときには使う言葉に気を遣いつつ、子どもの反応をみながら、教えたい、と思う今日この頃です。

　中学２年の女の子に連立方程式を教えていて、おや？っと思った。

　簡単な概要説明をして、具体的な問題を説明します。

　次の連立方程式を解きなさい。
　　　２x＋３y　＝　５　　　・・・・・・・・・�@
　　　２x−４y　＝　−２ 　・・・・・・・・・�A

　という問題を出しました。

　
　その子は、俗にいう加減法：　式�@　−　式�A　を計算して、すぐに解くことできました。
　類似問題を何度もやって、間違えなくなりました。

　そこで、次に別の方法　俗にいう代入法を教えます。
　
また、簡単な概要説明をして、具体的な問題を考えてもらいました。

　次の連立方程式を解きなさい。
　　　２x＋３y　＝　５　　　・・・・・・・・�@
　　　２x　＝　４y＋５　　 　・・・・・・・・�A

　�Aの式の２xを�@式の２xに代入します。
　２xは�A式から　−３y＋５　と同じだから、�@式の２xと置き換えられて、見慣れた方程式と同じになるよ。
　後は方程式を解くだけだよ。
　わかった様な顔をしてくれたので、類似問題をやらせてみました。

　しかし、数式を適当に代入して計算しようとする。
　例えば、�@式の左辺を�A式のxに代入したりして、
　　２（２x＋３y）＝４y＋５　として、考え込んでいる。

　連立方程式そのものをわかっていなかった様です。しかし、加減法では計算できている。つまり、連立方程式の意味そのものはわかっていなくて、解法の仕方だけを覚えている様です。確かに、解法を機械的に覚えるだけなら、加減法の方が覚えやすそうです。考えてみると、実際に計算は出来ていてもなぜその計算でいいか、わかっていない例はいくつもあります。分数の計算しかり、正負の計算しかりです。特に分数の割り算など、なぜ逆数にしてかけていいか、ほとんどの子がわかっていない、またはイメージが湧いていなくて、機械的に計算作業しているだけになっています。

　約２年、娘と多くの子どもと顔を付き合わせながら勉強を教えていて、子どもがどこでつまずくかだんだんわかってきた。いつまでもつまづいている子、いつの間にか立ち直る子、それぞれです。つまずいていた娘も教えていると年々質問のレベルが高くなってきていると同時に数学が好きになってきている様です。娘が中学生の時はこんなこともわからなくて大丈夫かと思っていましたが、子どもの潜在能力には驚かされます。真面目に取り組む子のつまづきをとって、数学大好き少年・少女を少しでも増やしたい、と思います。

割合ってなんなのよ？　嫌い？

　割合って、割合むずかしいようだ。大人になった今でこそ当然の様に使っていますが、子どもに教えてみて、教えることは難しいことだったんだな、と実感しました。
　子どもに、割って合わせるんだよ、といってみた。子どもはキョトンとした顔になる。
　　　　　　　パーセントって、１００で割って、いくつかってことだよ。日本語でいうと１００分率っていうだろ。１００で割っていくつかという意味だよ。　（ふーん）

　　　　　　１０００円の１０％は ？　　　　　（子ども：　う〜ん、わからない）
　　　　　　　１００円の１０％は ？　　　　　（子ども：　　１０円　　）　
　　　　　　　２００円の２０％は ？　　　　　（子ども：　　２０円　　）
　　　　　　　３００円の３０％は ？　　　　　（子ども：　　３０円　　）
　　　じゃ、１０００円の１０％は？　　　　　（子ども：　　１００円　）

　　　そうだよ！　できるじゃない？　わかったね！
　　　じゃ、５０００円の１０％は　？　　　　（　　　？？？？？）

　結局、わかっちゃいなかった。なんとなく、規則性から予測して、数字をいっただけで、パーセントの意味は伝わっていなかった。そんな状態で、食塩水の濃度（％）は　　　（食塩）/（水溶液）　×　１００　と学校では教えられる。子どもはパーセントがわからない状態で、けなげにも式を覚えてしようとする。真面目な子は覚えて、一時的に答えは出せる様にはなります。しかし、パーセントの意味がわからない状態で、式だけ丸暗記しても、定期テストが終わってしまえば、忘れてしまします。

　　塾講師として、”これはいかん”。”子どもの未来を考えてなんとかしなければいかん”。”なんとか意味を教えないと”、と思い、いろいろと試しました。パーセントとは全体を１００にして、注目しているものがいくつになるかを表しているんだよ。とか学年に女子は５０人います、といっても女子の方が多いのか少ないのか、わからない。そこで学年で２００人いれば、全体を１００として女子は２５％で少ないんだよ、といった方がわかりやすい場合があるよ、とか。実際に子どもを教えていて、なんとかわかろう、としている子はなんとかわかってくれる様です。しかし、もともとわかろうとしなかったからわからなくなった子はこんなことではなんともなりません。　結局、子どもによっては、テストの点が取れないよ！、どこの高校に行くの！と不本意ながら、半分脅かしながら、できるできるとおだてながら、教えることになります。

　私としては、まずはパーセントの意味そのものを説明し、子ども顔をみながら、そのまま深く続けてみたり、小手先のテクニックを説明して、問題をやらせてみたり、・・・。　結局は、子どもそれぞれの道があるので、それぞれの子に合せて、元気に成長してくれれば、と思います。

　 " みはじ " ? って　　 みんなじいさん禿げている？

　娘の勉強をみていて、”みはじ”なる存在を知った。どうも気にいらない。時間、速さと距離の関係って、それぞれの意味がわかっていれば、それで計算すれば、いいのに、と思った。こんなことを覚えて、数字をあてはめて、機械的に計算して答えが合ってもなんの意味があるだろうか。それぞれの意味を理解して、それから自分で考えて計算するのが数学でしょう。機械的に数字を当てはまるだけでは数学じゃない。これでは文章問題はわからなくなる、と思いました。
　そんな時に、ブログ　”道草学習のすすめ　：速さの公式なんか覚えちゃダメなんだよ”　をみて、その内容に大賛成。さらに私が思う弊害として、同じ様な関係をもつものも全て同じ様に公式を丸暗記し、数字を当てはめなければならなくなります。そんなことしていたら、数学嫌いを子を作るだけ、と思いました。

　　同じ様な関係として、長方形のたて、よこと面積の関係、直方体の底面積、高さと体積の関係、その他、電流、抵抗、電圧　しかり、電圧、電流、電力　しかり、　圧力、面積、力　しかり、　溶液、濃度、溶質しかり、・・・・・・・・・・・・・・
　同様な関係のものがいかに多いことか！　結局比例の関係にあるものは全て、みはじ的に覚えることになります。そんなことは無理でしょう。ましてや１次関数になるものはどうやってマスターしたらいいでしょうか。
　そこで、時間・速さ・距離ものの問題をを教えるとき、”公式なんか覚えちゃダメだよ”といいつつ、ブログ”道草のすすめ”をみせて説明してみました。反応は人それぞれでした。



　　Nさん　（平均点くらいの小器用な女子中学生）の反応

　いいから、いいから解けるからこれ（”みはじ”）　でいいんだよ。やり方を教えてくれればできるからやり方だけ教えて？　
　　Fさん（数学は苦手、考えるのは面倒臭い、成績の悪い女子中学生）の反応
　
　みはじを覚えなくっていいの？　ラッキー！　（私：でも言葉の意味から計算方法を導くんだよ）　　う〜ん？

　　Kくん　（成績は中の上、数学は好きだけど暗記に頼りがちの男子中学生）

　カッコいい、先生は暗記嫌い派だからね。　（結局、同意してくれたのか、よくわからない。）

　　Nくん（成績は中の上、見栄っ張り、点数をとることに重点をおく男子中学生）の反応

　ふ〜ん　　　（まったく乗ってこないので、、途中で止めた。）



　結局、いままで公式を覚えろと言われて公式に頼って、数字を当てはめている子に、”公式を覚えるな”と突然いってみても、覚えないだけに終わり、現状より悪い結果になりそう、です。
　そこで、”みはじなんかおぼえるな”　というかどうかは、子どもを見て判断しています。子どもの成績、性格、考えることが好きかどうか、私との信頼関係が多少できているか、を考慮して、教えています。例えば　”丸暗記はするな”　と一般的な言葉にとどめるか、”みはじなんか使うな”　というか、を使い分けています。数学が苦手で考えることも嫌だ、という子には、公式を暗記だけして数字を当てはめても仕方ないか、と思う様になりました。それは、その子には、数学の点数をそこそこ取ることが数学のモチベーションUPに繋がる、と考え、まず、小手先のテクニックを教えています。
　子どもによって、教え方の正解も違うことを実感しています。特に、私自身が中学生の時につまずいていない内容を、つまずいている子を教えると、発見がいっぱいありました。なんとか正解に近い教え方に近づく様に、楽しみながら考えています。

分数ってなに？

　子どもの勉強を見初めたころ　”おや”　と感じたことが多々ありましたが、その1つとして、分数があります。分数そのものがわかっていない子が多くいました。但し、通分とか約分とか言葉は知っています。しかし、なんのために通分するのか、なぜ約分してもいいのかわかっていない様です。


　１．　分数の足し算、引き算は通分して計算できても、なぜ通分するか説明できない。
　２．　１/２　＋　１/３　＝　３/６　＋　２/６　＝　５/６　と計算できても　１/２＋１　を計算できない。
　３．　分数の掛け算をするとき、通分する。
　４．　分数の割り算は逆数にしてかける、という計算はできても、なぜそうできるか説明できない。
　５．　２　÷　１/２　＝　２　×　２　＝　４　と計算できても　　２　÷　０.５　を　筆算で求める。
　

　１、２、３、・・・といった数字はイメージに比べて、２分の１のイメージは難しい様です。ネーミングのイメージができていない様です。そこで　”２分の１は２つに分けた１つだから半分だよ。”　と子どもに話します。次に、分数の足し算はどうするか？２つに分けた１つと３つに分けた１つを足すと、どうするか？　まずは子どもに聞いてみます。”ケーキを２つに切って、そのひと切れと、ケーキを３つに切って、そのひと切れを足すとどうなりますか”簡単に足せないでしょう。そのためにひと切れの大きさを合わせます。ケーキを２つに切ってそのひと切れは、ケーキを６つに切ってその３切れ分と同じです。ケーキを３つに切ってそのひと切れは、ケーキを６つに切ってその２切れ分と同じです。だからケーキを２つに切ってその１つと、ケーキを３つにきってそのひと切れを足すと、ケーキを６つに切って５つ分と同じです。だから、１/２　＋　１/３　＝　３/６　＋　２/６　＝　５/６　　通分とはケーキひと切れの大きさを合わせるってことです。と教えてみた。わかった様な気になってくれます。

　次のハードルは分数どうしの掛け算です。計算テクニックとしては、分母は分母、分子は分子どうしかけます。計算そのものについては、できる子は多いのですが、なぜそうなるか、わかっている子は少ないです。ここでは面積を使って説明してみました。　例えば、１/２　×　１/２　は、縦　１/２　横　１/２　面積に考えられます。この部分の面積は縦　１　横　１　の面積を　４つに分けた１つになります。縦　１　横　１の　面積は１　だから　縦　１/２　横　１/２　の面積は　１/４　になります。　だから　１/２　×　１/２　＝　１/４　です。　面積で例えると、分母と分母をかけるということは、面積をいくつに分けるかということ、分子と分子をかけるということは、そのいくつ分かと表します。文章だけではなかなかわかりにくい、と思いますが、顔を付き合わせて顔色を見ながら説明すると、わかってくれた様な顔してくれます。

　さらに分数の厄介なことは分数でわる、というイメージです。そこで、説明しているのは、１つのケーキを一人半分ずつわけると何人分にわけられますか？ときいてみます。子どもは２人と答えられます。これを数式で表現すると、　１÷（１/２）　＝　２　となります。同じ様にケーキを4つに切ると４人に分けられます。これを同様に数式で表現すると　１　÷　（１/４）　＝　４　となります。結局、分数の割り算は分母と分子を入れ替えて、掛け算にするのと同じです。もっといろいろと説明はできますが、正確さよりイメージをつかんでもらう様な説明をして、教えています。

　塾講師をしていて、子供のつまずくところはわかってきましたが、どうすれば、つまずいたところから立ち上がらせられるか。日々、試行錯誤の連続ですが、数学の苦手な子でも、数学を分かろうとしている子にはなんとかわかってもらえそうだ、と感じています。もっと工夫して、なんとかわかりやすい方法を、と模索しています。