ていへんかけるたかさわるに

10 時起床.
朝の抑鬱感が強く頓服を飲んで何とか起きた.
昨夜の鬱が非常に苦しかったので, それがメンタルに相当な負担をかけて疲れてしまったのだと思う.
認知療法の効果や, 主治医や PSW さんの助言もあって過去を思い出さないように心懸けているが, それが崩れたところにはやはり心のケロイドが存在している.
まだ回復していない.
時間が経てば回復することを信じて.

こういった極端な日を除けば, 生活にほぼ一定のリズムができてきた.
それで一日をどんな風に過ごすかという草案を作ってみた.

2 時 〜 3 時起床: 朝の体操. コーヒーを淹れる. 体調が悪かったら以下の全予定をキャンセルして寝込む.
12 時まで: 数学・プログラミング
(9 時 〜 11 時のどこか (不定期): プールで泳ぐ)
12 時 〜 1 時: 昼食
1 時 〜 5 時: チラシ配り または 絵
5 時 〜 7 時: 夕食の準備・読書
7 時 〜 8 時: 夕食 (夕食を食べている最中に鬱になりやすい. どうするか)
9 時: 就寝

数学とプログラミングは昼までになっているが考えるのはどこでもできるので全部. 絵もそう. どれも想像することで場所・状況関係無くできるし楽しいので良い.
もっともプログラミングはまだゆっくりゆっくりとしか考えられないので正直なところ辛いと思う.

当初は中世修道士の生活を真似しようとしたが, これは無理だった.

草案だけれどこれでやってみる.

昨日と同じく日が落ちてから苦しい.
過去の記憶とかが浮かび上がってきて苦しい.

2017 年 9 月 14 日 追記
ここで書いている 過去の記憶 には以前の知人数人の表情が含まれている.
彼らが自分に憤慨し, 怒り, 延々と罵声を浴びせ, あるいは一方的に無視している最中の表情に, ふと怒りや失望とは異なる享楽的な, 何かを楽しんでいるような翳がさすことがあった. 人間は異常に醜い形になるのだと思ったが, 同時にその表情は嘔吐感を抱くほど恐ろしく自分を怯えさせているものでもある.

日が落ちてから苦しい. 自己否定というか自己憎悪というか.
弱い. 脆い. 駄目だ.

2017 年 9 月 14 日 追記
この日は作業療法に行った.
絵に没頭できたと思う.

ただ, いつもは静かなアトリエがこの日はなぜか騒がしく感じた. 理由不明.

4 時起床.

今日も無気力と無価値感があるが昨日ほどではない.

数学をやって, 午後からチラシ配りに出かけた.

今日はごちゃごちゃしたところを配って歩いた.
今まで, 配る度に気になっていた建物を今日はチラシを配るときにさりげなく観察してみた.

三階建てのビルが二つ並んでいる.
どちらも敷地は非常に小さい.
見かけがまったく異なるので無関係のビルがたまたま並んでいるように見える.
どちらも車一台分のスペースと階段用のスペースくらいの狭さである.
とにかく狭い敷地に無理に建てたようなビルなのだ.
しかしこの二つの建物のデザインに惹き付けられる.

一つは一階がオフィスで上が住居のようだ. 建物は原色に塗られていて強烈な印象を受ける.
ここで働いている人は気にならないのだろうか. けれども圧倒する色彩が素晴らしいと思う.
チラシをメールボックスに入れるときに自然に中が見えてしまう.
一階のオフィスは大部分がガラス張りなのだ.
一人きりで林檎のマークが付いたコンピューターを使って何かやっている.

その隣のもう一つの建物は鉄骨が剥き出しのビル. 住居なのかオフィスなのかはわからない.
未完成感がかっこいい.
一階がガレージで車が止まっている.
急な階段で二階と三階へと繋がっている.
二階に二部屋, 多分三階にも二部屋ある. 部屋は相当狭そう.
何もかも剥き出しになっているのでちょっと見上げるだけでこういった構造がわかってしまうのだ.
二階の部屋の隅に観葉植物が置いてあるのが見える.

こういう狭い部屋・狭い空間が好きなのだ.

そういえば以前住んでいた家も書斎はわざと狭くした. すごく居心地が良くてほぼその部屋にいた.

自分のアパートも今日見たビルみたいな狭さが際立つようにしてみようか, などと少し考える.

3 時起床.
今朝もじわじわと自己否定の感情がある.
それから無気力と, あと無価値感がある.

どうにか踏ん張って起き上がる.

数学をやってプールに行ってチラシ配りをした.

その間もどうかすると

そんなことをしても何の意味も無い
お前に迷惑を被った人たちへの贖罪のつもりならとんでもなく傲慢な偽善だ
生きているだけで世の中の邪魔だ
お前はいること自体が無駄だ

といったような苦しい思いが湧いてくる.

寝込んでいようかとも思ったが心身ともに健康で, 数学を考えたり体を動かしたりしたいという思いがあるので何とかなっている.

3 時起床.
なぜか自己否定の思いがあり苦しい.
人前に出たくない. 居るだけで邪魔になってしまう.

人の視線が怖い.
一人ぼっちで部屋の中にこもって誰にも合わないでいたい.

しかし午前中プールに行き, 午後はチラシ配りに出かけた.

この程度の外出 (と言えるようにはなった) ならば大丈夫だ.

部屋で一人でいるのが一番安心する.

最近体調は安定して良かったが, 少し下降し始めているのかも知れない.

3 時起床.
昨日ほどではないが抑鬱感が強い. 頓服を飲む.

数学の練習問題を解く. あまり頭がうまく働かないが, ゆっくり考える.
半順序集合を $P = (O, \le)$ ($O$ は台集合, $\le$ は $O$ 上の半順序) のように表わす仕方と, 圏であることを意識して $P = (O, A, d^0, d^1, u, m)$ のように表わす仕方の違いについてちょっと誤解をしていたので考え直す.

結論として, これは同じものの異なる表わし方というところで納得した.
「表記が異なっても同じである」ということだ.
基本的な考え方の問題である.

今日は作業療法に行く. 頓服を飲んだし, 体調は大丈夫だろう.

弁当を作る.
今日は秋刀魚の蒲焼きの缶詰でひつまぶし風を作る. あとはキャベツのスパイス炒め, 目玉焼き, 胡瓜の糠漬け.

病院に向かう途中から疲労感が出てきた. 何だかだるいなあ, と思っていたらだんだんひどくなっていく.

アトリエでは絵に集中したが, すぐに疲れてしまう. このだるさは何だろう.

休み休み描いていたが, それでも少し進展した.

帰りの電車の中ではずっと寝ていた.

どうしてこんなに疲れているんだろう.
無気力状態のときのだるさにも似ているような気はするがわからない.

帰宅してしばらく横になる.

空腹だが料理を作るパワーが無いので牛乳を飲んで寝る.

午前 3 時起床.
抑鬱感がやや強く苦しい. 頓服を飲んで何とか起き上がった.

自己否定の感情が強い. 自分は駄目, 役立たず...
ストレッチをしたり深呼吸を繰り返したりして 1 時間ほどで少し気分が上向く.

理由不明.

それでも起き上がれたのは体調が良くなっていることの表われなのだろう.

午前 5 時起床.
昨日は帰宅後に少し体調を崩してしまい, 頓服を飲んで早めに寝た.

朝から雨なのでチラシ配りにも出かけられない.
読書をして過ごす.

こうやって一人でひきこもって過ごしているのが一番安らぐ.
外出すること, 社会や人と触れ合うことも多少はできるようになってきたが, ひきこもるのが最も安心できる.

一人ぼっちがいい.

数学: 圏としての群・モノイド・半順序集合の逆圏 (修正版)
数学: 圏としてのモノイドとその逆圏
の続き.

$P = (O, \le)$ を半順序集合とする. ここで $O = \lvert P \rvert$ は台集合, $\le$ は $O$ 上の半順序, すなわち反射率・反対称律・推移律を満たす $O$ 上の関係である.

$P$ は次のようにして圏と見做すことができる.
・ 対象の集合を $O$ とする.
・ $x, y \in P$ に対して, $x \le y$ が成り立つとき, $x$ から $y$ への唯一の射 $\mathrm{ar}(x, y) : x \to y$ が存在し, $x \not\le y$ のとき $x$ から $y$ への射は存在しないとする. つまり
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}{#1}}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Hom(x, y)
= \begin{cases}
\{ \ar(x, y) : x \to y \} & (x \le y), \\
\varnothing & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{equation*}
である.
射の集合 $A$ を
\begin{equation*}
A = \bigcup_{x, y \in O} \Hom(x, y)
\end{equation*}
と定義する.

・$x \le y$ のとき射 $\ar(x, y) : x \to y$ が存在する. これに対してその「ソース」と「ターゲット」を対応させる関数 $d^0, d^1 : A \to O$ を
\begin{equation*}
d^0(\ar(x, y)) = x, \quad d^1(\ar(x, y)) = y
\end{equation*}
と定義する.
・各 $x \in P$ に対して $x \le x$ が成り立つ (反射率). よって $\ar(x, x) : x \to x$ が存在する. $\ar(x, x) = \Id{x}$ と書くことにし, 関数 $u : A \to O$ を
\begin{equation*}
u(x) = (\Id{x} : x \to x) = \Id{x}
\end{equation*}
と定義する.
・$x, y, z \in P$ に対して $x \le y, y \le z$ が成り立つとき, $x \le z$ が成り立つ (推移律). これは $\ar(x, y), \ar(y, z)$ が存在するときに $\ar(x, z)$ が存在することを意味する.

集合 $A_2$ を
\begin{align*}
A_2 &= \left\{\, (\ar(y, z), \ar(x, y)) \mid x, y, z \in O. \, x \le y, y \le z \,\right\},
\end{align*}
と定め, 関数 $m : A_2 \to A$ を
\begin{equation*}
m(\ar(y, z), \ar(x, y)) = \ar(x, z)
\end{equation*}
と定義する.
$m(\ar(y, z), \ar(x, y))$ を
\begin{equation*}
\ar(y, z) \circ \ar(x, y)
\end{equation*}
とも記す.


このとき, 6 つ組 $(A, O, d^0, d^1, u, m)$ は圏になり, 半順序集合 $P$ を 6 つ組として
\begin{equation*}
P = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*}
と表わすことにより圏と見做すことができる.

$P$ 上の関係 $\le$ が満たす反射率・反対称律・推移律は圏としての $P$ においては射の集合 $A$ の性質として次のように記述される:

$x, y, z$ を $O = \Ob{P}$ の元とする. このとき, 次の法則が成り立つ.
・ 反射率: 各 $x$ に対して射 $\Id{x} = \ar(x, x) : x \to x$ が存在する;
・ 反対称律: $\ar(x, y)$ および $\ar(y, x)$ が両者とも存在するならば
\begin{equation*}
\ar(x, y) = \Id{x} = \ar(y, x)
\end{equation*}
である;
・ 推移律: $\ar(x, y)$ および $\ar(y, z)$ が両者とも存在するならば $\ar(x, z)$ も存在して
\begin{equation*}
\ar(x, z) = \ar(y, z) \circ \ar(x, y)
\end{equation*}
である.


圏としての半順序集合 $P$ の逆圏 $\Opp{P}$ は以下のものから構成される.

・ 対象の集合 $\Opp{O} = O$.
$x \in \Opp{O}$ の元は, それが $P$ の逆圏の対象であることを強調したいときには $\Opp{x}$ のように表わす.
・ 射の集合 $\Opp{A} = \left\{\, \arop(x, y) : x \to y \mid x, y \in \Opp{O} \,\right\}$.
$\arop(x, y) : x \to y$ は $A$ に属する射としては $\ar(y, x) : y \to x$ に対応する.

・ 射 $\arop(x, y) : x \to y$ に対してそのソースとターゲットを対応させる関数 $\Src, \Tgt : \Opp{A} \to \Opp{O}$:
\begin{equation*}
\Src(\arop(x, y)) = x, \quad \Tgt(\arop(x, y)) = y.
\end{equation*}
・ 対象 $x$ に対してその上の恒等射 $\Id{x} = \arop(x, x)$ を対応させる関数 $\Opp{u} : x \to x$:
\begin{equation*}
\Opp{u}(x) = (\Id{x} : x \to x) = \Id{x}.
\end{equation*}
・ 集合 $\Opp{A_2}$ を
\begin{equation*}
\Opp{A_2} = \left\{\, (\arop(y, z), \arop(x, y)) \mid x, y, z \in \Opp{O}. \q x \ \le y, y \le z \,\right\}
\end{equation*}
と定義したとき, $(\arop(y, z), \arop(x, y)) \in \Opp{A_2}$ に対してその合成を対応させる関数 $\Opp{m} : \Opp{A_2} \to \Opp{A}$:
\begin{equation*}
\Opp{m}(\arop(y, z), \arop(x, y)) = \arop(y, z) \circ \arop(x, y) = \arop(x, z).
\end{equation*}

圏としての半順序集合 $\Opp{P}$ は 6 つ組
\begin{equation*}
\Opp{P} = (\Opp{A}, \Opp{O}, \Src, \Tgt, \Opp{u}, \Opp{m})
\end{equation*}
として表わされる.

圏としての半順序集合 $P$ とその逆圏 $\Opp{P}$ の関係については次が成り立つ.

命題. $P$ と $\Opp{P}$ が半順序集合として同型となるための必要十分条件は, 全射 $\varphi : P \to P$ で $x \le y$ となるような任意の対象 $x, y \in P$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(y) \le \varphi(x)
\end{equation*}
を満たすようなものが存在することである.

例えば, $S$ を任意の集合とし, $P$ を $S$ の部分集合全体の集合とそれらの間の包含関係 $\subset$ からなる半順序集合 $P$ を考える.
$\Opp{P}$ 上の半順序は包含関係 $\Opp{\subset} = \supset$ である.

$\varphi : P \to P$ を
\begin{equation*}
\varphi(A) = S - A = \left\{\, x \mid x \in S,\, x \not\in A \,\right\} \quad (A \in P)
\end{equation*}
と定義する. $A, B \in P$ で $A \subset B$ を満たす対象の対に対して常に
\begin{equation*}
\varphi(B) = S - B \subset S - A = \varphi(A)
\end{equation*}
が成立するので上記の命題により $P$ と $\Opp{P}$ は半順序集合として同型である.
$i : P \to \Opp{P}$ を
\begin{equation*}
i(A) = \Opp{A}
\end{equation*}
によって定め, $f : P \to \Opp{P}$ を
\begin{equation*}
f = i \circ \varphi
\end{equation*}
と定義する.
\begin{equation*}
f(A) = S - A
\end{equation*}
である.
$f$ は $P$ から $\Opp{P}$ への同型写像となる.
すなわち, 対象 $A, B \in P$ に対して常に
\begin{equation*}
A \subset B \quad\Longrightarrow\quad f(A) \supset f(B)
\end{equation*}
が成り立つ.

同型にならない例: $N$ を非負整数全体の集合とする:
\begin{equation*}
N = \{ 0, 1, 2,\ldots \}
\end{equation*}
$N$ 上には全順序 $\le$ が存在する.

\begin{equation*}
N_1 = \left\{\, (m, 0) \mid m \in N \,\right\}, \quad N_2 = \left\{\, (0, n) \mid n \in N \,\right\}
\end{equation*}
とおいて $N_1$ の元 $(m, 0)$ を $m^{(1)}$, $N_2$ の元 $(0, n)$ を $n^{(2)}$ のように書くことにする.
ただし共通元 $(0, 0) \in N_1 \cap N_2$ は単に $0$, もしくは $N_1, N_2$ の元であることを強調する場合にはそれぞれ $0^{(1)}, 0^{(2)}$ と書く.

$N_1$, $N_2$ はそれぞれ $N$ と同一視できるため, $N$ 上の全順序 $\le$ と同じ順序を考えることができる.

集合 $O$ を
\begin{equation*}
O = N_1 \cup N_2
\end{equation*}
によって定める.

$O$ 上の半順序 $\le_O$ を次のように定義する.
(1) $m^{(1)}, n^{(1)} \in O$ に対して $N$ 上の全順序 $\le$ を $\le_O$ とする. $m^{(1)} \le n^{(1)}$ または $n^{(1)} \le m^{(1)}$ のどちらか一方が成り立つ;
(2) $m^{(2)}, n^{(2)} \in O$ に対して $N$ 上の全順序 $\le$ を $\le_O$ とする. $m^{(2)} \le n^{(2)}$ または $n^{(2)} \le m^{(2)}$ のどちらか一方が成り立つ;
(3) $m^{(1)}, n^{(2)} \in O$ に対しては $m^{(1)} = 0$ もしくは $n^{(2)} = 0$ の場合を除き順序関係を定めない ($m^{(1)}$, $n^{(2)}$ のいずれかが $0 \in N_1 \cap N_2$ のときには順序を定めることができる).

このとき $P = (O, \le_O)$ は半順序集合になる.

圏としての半順序集合 $P$ は始対象 $0$ を持つ.
\begin{equation*}
0 \le_O 1^{(1)} \le_O 2^{(1)} \le_O \ldots, \quad 0 \le_O 1^{(2)} \le_O 2^{(2)} \le_O \ldots
\end{equation*}

終対象は存在しない.

$P$ の逆圏 $\Opp{P} = (\Opp{O}, \le_{\Opp{O}})$ を考える. $\Opp{P}$ 上の半順序 $\le_{\Opp{O}} = \Opp{\le_O}$ は次を満たす.
\begin{equation*}
\ldots 2^{(1)} \,\le_{\Opp{O}}\, 1^{(1)} \,\le_{\Opp{O}}\, 0, \quad \ldots 2^{(2)} \,\le_{\Opp{O}}\, 1^{(2)} \,\le_{\Opp{O}}\, 0,
\end{equation*}
つまり圏としての $\Opp{P}$ は終対象 $0$ を持つが始対象は持たない. したがって $P$ と $\Opp{P}$ は同型ではない.

しかし準同型写像は考えることができる.

たとえば $f : P \to \Opp{P}$ を
\begin{equation*}
f = \begin{cases}
3^{(i)} - n^{(i)} & (n^{(i)} = 0^{(i)},..., 3^{(i)}; i = 1, 2) \\
0
\end{cases}
\end{equation*}
により定義すると, $f$ は準同型写像になる.
\begin{gather*}
f(0) = 3^{(1)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(1^{(1)}) = 2^{(1)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(2^{(1)}) = 1^{(1)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(3^{(1)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q f(4^{(1)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q f(5^{(1)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q \ldots \\
f(0) = 3^{(2)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(1^{(2)}) = 2^{(2)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(2^{(2)}) = 1^{(2)} \q\le_{\Opp{O}}\q f(3^{(2)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q f(4^{(2)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q f(5^{(2)}) = 0 \q\le_{\Opp{O}}\q \ldots
\end{gather*}

このことからわかるように $f$ による $P$ の像は有限集合
\begin{equation*}
\left\{\, 3^{(1)}, 2^{(1)}, 1^{(1)}, 3^{(2)}, 2^{(2)}, 1^{(2)}, 0 \,\right\}
\end{equation*}
になる.

実際には, $P$ と $\Opp{P}$ 間の任意の準同型写像の像は常に有限集合となることがわかる.