次の練習問題を考えているのだが, その途中で自分の 圏としての群 への理解が間違っていることに気がついた.
($a$) 任意の単一の群はそれ自体圏と見做せる. 圏としての群の逆圏は何かを説明せよ. この圏が元の圏としての群と同型になること, および同型ではあるが, 同一となるとは限らないことを示せ.
($b$) 上の ($a$) と同様のことをモノイド (結合律を満たす 2 項演算と単位元を持つ集合 = 単位元を持つ半群) に対して行え.
($c$) 上の ($b$) と同様のことを半順序集合に対して行え.
とりあえず間違いに気がついて良かった.
間違いの箇所は圏としての群 $G$ の対象を $G$ を唯一の対象とする集合にし, その上で射の集合を $G$ とおく際に, それを対象 $G$ に対する左からの作用と定義したこと, である.
これは考えればわかるが無理がある.
この間違った定義を行ったことにより, 射の集合の定義における
(1) 射の合成を積とする;
(2) その積によって射の集合が群になる;
(3) その群は元の群 $G$ と同一と見做せる.
という議論が破綻する.
任意の群は圏と考えることができる.
以下のように考える.
対象の集合 $O$ を 1 個だけの元からなる集合として定義する.
その唯一の元は記号として使えればよい.
集合 $O$ を
\begin{equation*}
O = \left\{\, \dagger \,\right\}
\end{equation*} と定義する.
射の集合 $A$ を
\begin{equation*}
A = G
\end{equation*} と定義する.
$A = G$ の各元 $g$ を対象 $\dagger \in O$ からそれ自身への射と考えて
\begin{equation*}
g : \dagger \to \dagger
\end{equation*} と記す.
関数 $d^0, d^1 : A \to O$, $u : O \to A$, $m : P = A \times A = G \times G \to A$ を次のように定義する.
・ $d^0, d^1 : A \to O$ は各 $(g : \dagger \to \dagger) \in A$ に対してソース $\dagger$ とターゲット $\dagger$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
d^0(g) = \dagger, \quad d^1(g) = \dagger \quad (g \in A)
\end{equation*}
・ $u : O \to A$ は対象 $\dagger$ に対して群 $G$ の単位元 $e$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
u(\dagger) = (e : \dagger \to \dagger) = e.
\end{equation*}
・ $m : P \to A$ は各 $(g, h) \in P$ に対して
\begin{equation*}
m(g, h) = gh = g \cdot h
\end{equation*} により定義される関数. ここで " $\cdot$ " は群 $G$ 上の積である.
群 $G$ を 6 つ組
\begin{equation*}
G = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*} と表わす.
このとき $G$ が群であることから以下のような図式の可換性が成立する.
(i) $G$ が単位元を持つこと (これにより空集合 $\varnothing$ は群になり得ない) を示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[dl]^{d^1} \\
~ & O & ~
}
\end{equation*}
(ii) $G$ 上の積が $G$ に関して閉じていることを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{equation*} ここで $p_1, p_2 : P \to A$ は座標射影で $p_1(g, h) = g,\, p_2(g, h) = h$ により定義される.
(iii) 任意の $g \in G$ に対して単位元 $e$ が $g \cdot e = g = e \cdot g$ を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{\mathrm{id}_{A}} & P \ar[l]_{(\mathrm{id}_{A}, u \circ d^0)} \ar[d]^m \ar[r]^{(d^1 \circ u, \mathrm{id}_{A})} & A \ar[dl]^{\mathrm{id}_{A}} \\
~ & A &
}
\end{equation*}
(iv) $G$ 上の積が結合律を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
Q \ar[d]_{m \times \mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{\mathrm{id}_{A} \times m} & P \ar[d]^m \\
P \ar[r]_m & A
}
\end{equation*} ここで $Q = A \times A \times A = G \times G \times G$ である.
これにより群 $G$ が圏と見做せる.
以下では群 $G$ を圏と考えた場合に, その逆圏 $G^{\,\mathrm{op}}$ が何になるかを説明している.
$G^{\,\mathrm{op}}$ を $G$ の逆圏とする.
以下では, 群 $G^{\,\mathrm{op}}$ の各元を, 群 $G$ の元 $g$ の右上に "$\mathrm{op}$" を付けて $g^{\mathrm{op}}$ と記すことにする.
$G^{\,\mathrm{op}}$ は 6 つ組
\begin{equation*}
G^{\,\mathrm{op}} = (A^{\mathrm{op}}, O^{\mathrm{op}}, d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}}, u^{\mathrm{op}}, m^{\mathrm{op}})
\end{equation*}
として定義する. 個々の構成要素は次のように定められる.
・ 対象の集合 $O^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ob}(G^{\,\mathrm{op}}) = O = \left\{\, \dagger \,\right\}$: 単一の元のみからなる集合.
・ 射の集合 $A^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ar}(G^{\,\mathrm{op}}) = G^{\mathrm{op}}$: 群 $G$ の台集合の上に積 "$\cdot^{\mathrm{op}}$" を入れて定まる群 (後述: $g \cdot^{\mathrm{op}} h = h \cdot g$ により定義される).
・ $d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}} : A^{\mathrm{op}} \to O^{\mathrm{op}}$ は各 $(g : \dagger \to \dagger) = g \in \mathrm{Ar}(G^{\,\mathrm{op}}) = G^{\,\mathrm{op}}$ に対して単一の対象 $\dagger$ を対応させる関数.
・ $u^{\mathrm{op}} : O^{\mathrm{op}} \to A^{\mathrm{op}}$ は $\dagger \in O^{\mathrm{op}}$ に対して $G^{\,\mathrm{op}}$ の単位元
\begin{equation*}
u^{\mathrm{op}}(\dagger) = (e^{\mathrm{op}} : \dagger \to \dagger) = e^{\mathrm{op}}
\end{equation*} を対応させる関数.
・ $m^{\mathrm{op}} : P^{\mathrm{op}} = G^{\,\mathrm{op}} \times G^{\,\mathrm{op}} \to G^{\,\mathrm{op}}$ は各 $(g^{\mathrm{op}}, h^{\mathrm{op}}) \in P^{\mathrm{op}}$ に対して
\begin{equation*}
m^{\mathrm{op}}(g^{\mathrm{op}}, h^{\mathrm{op}}) = g^{\mathrm{op}}h^{\mathrm{op}} = g^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} h^{\mathrm{op}} = h \cdot g
\end{equation*} により定義される関数.
群 $G$ と群 $G^{\,\mathrm{op}}$ の違いは積の構造である.
関数 $i : G \to G^{\,\mathrm{op}}$ を
\begin{equation*}
i(g) = g^{\mathrm{op}} \quad (g \in G)
\end{equation*} と定義すると, これは群の同型写像となる.
$m^{\mathrm{op}}$ の定義により, 任意の $g, h \in G$ に対して
\begin{equation*}
g^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} h^{\mathrm{op}} = h \cdot g
\end{equation*} が成り立つ.
群の同型写像 $i$ によって $G$ と $G^{\,\mathrm{op}}$ は同型になる.
一方で $i$ は $G$ の 2 つの元の積 $g \cdot h \,(g, h \in G)$ を $G^{\,\mathrm{op}}$ における積に
\begin{equation*}
i(g \cdot h) = g^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} h^{\mathrm{op}} = h \cdot g
\end{equation*} と移す.
したがって, $G$ と $G^{\,\mathrm{op}}$ は台集合は同じだが積 " $\cdot$ " と " $\cdot^{\mathrm{op}}$ " が異なるために一般に同じ群にはならない.
$G$ と $G^{\,\mathrm{op}}$ が同じ群になるための必要十分条件は任意の $g, h \in G$ に対して
\begin{equation*}
g \cdot h = g^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} h^{\mathrm{op}} = h \cdot g
\end{equation*} が成立すること, つまり $G$ が Abel 群になることである.
