ていへんかけるたかさわるに

9 時半起床.
昨日一日中寝込んでいたためか, 頭がぼうっとしている.
午前中はコーヒーを飲んだり, 体操をしたりして体を普通に戻す.

昼食は納豆とご飯. 納豆は気分を変えて山葵を薬味に使ってみた.

午後はチラシ配りをする.

チラシ配りはやっていて楽しい.
自分に合っていると思う.
体調に波があってできない日もあるけれど続けたいなあ.

10 時起床.
午前中散歩に行くつもりだったが, しばらくして鬱が強くなる.
動けなくなる.

布団を引っ張り出してきて敷き直す. さっき畳んだばかりなのに.

そのまま寝込んだ.

8 時起床.
寝坊してしまった. 今日は作業療法に行く予定だったのだ.

大急ぎで弁当を作る.
おかずはキャベツのスパイス炒め, ほうれん草お浸し, 茹で卵, 白菜漬け, それと缶詰. 牛タンの葱塩味の缶詰があったのでそれを空けて入れる. ご飯はいつもの海苔弁.

今月始めから描き始めた絵の続きをやる. 今日で完成するかなと思っていたが, 色を塗るのにあと少し時間がかかる. 来週また続きを描く.

木綿豆腐と挽き肉を買って帰り夕食に麻婆豆腐を作った. 山椒をちょっと多めに入れる. 辛くて美味しい.

紹興酒が飲みたかったが家には無いし, 買うお金ももったいない.
炭酸水とお茶で我慢する.

8 時起床.
今日は元々認知療法を受けるためにクリニックに行くだけの予定だった.
けれども午前中のデイケアのセッションが絵画だったことと, 最近体調が不安定なために診察を早めに受けて薬を処方してもらっておくのがいいと考えて朝から出かけることにした.

慌ただしいが弁当を作る. ソーセージを炒め, キャベツを胡椒, ターメリック, 唐辛子などのスパイスで炒める. 冷蔵庫から茹でたほうれん草を取り出し, 茹で卵を作り, 買い置きの白菜漬けを添える. ご飯は乗りを二段に重ねた海苔弁当にする. いつもいつも同じ献立だが慣れた分作るのは早くなった.

デイケアでの絵画のセッションは 1 時間程の間に好きな絵を描く. 最後に皆の描いた絵を見ながら感想を言い合う.
皆, それぞれ特長のある絵を描くので面白い.

後片付けをして弁当を食べてから認知療法.
体調は少しずつ上がってきている. それは PSW さんも認識してくれているし自分も感じている.
しかし, 人が怖い, コミュニケーションが怖いというのは変わらない.

これが引き金になってひきこもりになってしまうことが一番恐ろしい.

診察は午後からだったが, 午前中に午後の診察のための整理番号を取れたので一番に診察を受けられて早い時間に薬を出してもらえた.

2 時起床.
数学をやる.
ひとまず, 基本群の定義についての自由研究はまとまったように思う. 時間ができたらノートに清書しながら内容を確かめる.
やったことは以下の通り.

$X$ を弧状連結な位相空間とする. $I$ を閉区間 $[0, 1]$ とし, $X$ 上のループ空間を

　　$\Omega(X) = \{ \alpha \bigm| \alpha : I \rightarrow X$ かつ $\alpha$ は連続写像であり $\alpha(0) = \alpha(1)$ が成り立つ. $\}$

と定義する.

$\alpha_0, \alpha_1 \in \Omega(X)$ に対して連続写像 $F : I \times I \rightarrow X$ で

　　$F(t, 0) = \alpha_0(t)$,
　　$F(t, 1) = \alpha_1(t)$,
　　$F(t, u) \in \Omega(X)$ $(t \in I, u \in I)$

を満たすものを $\Omega(X)$ におけるループ $\alpha_0$ からループ $\alpha_1$ へのホモトピーと呼び, \[ \alpha_0 〈homotopy/\Omega(X)〉 \alpha_1 \] と書く. $〈homotopy/\Omega(X)〉$ は $\Omega(X)$ 上の同値関係である.
$\Omega(X)$ の $〈homotopy/\Omega(X)〉$ による商空間を \[ \pi_1(X) = \Omega(X)\big/〈homotopy/\Omega(X)〉 \] とおく.
この定義は, 点付き位相空間 $(X, x_0)$ に対するループ空間を

　　$\Omega(X, x_0) = \{ \alpha \bigm| \alpha : I \rightarrow X$ かつ $\alpha$ は連続写像であり $\alpha(0) = x_0 = \alpha(1)$ が成り立つ. $\}$

としたとき, $\Omega(X, x_0)$ 上のホモトピー同値関係 $〈homotopy/\Omega(X, x_0)〉$ (すなわち $\alpha_0, \alpha_1 \in \Omega(X, x_0)$ に対して, 連続写像 $F : I \times I \rightarrow X$ で $F(t, 0) = \alpha_0(t)$, $F(t, 1) = \alpha_1(t)$ かつ $F(t, u) \in \Omega(X, x_0)$ $(t \in I, u \in I)$ が成り立つものが存在する) で割って得られる商空間 \[ \pi_1(X, x_0) = \Omega(X, x_0)\big/〈homotopy/\Omega(X, x_0)〉 \] が群になること, この群を $(X, x_0)$ の基本群と呼ぶことの拡張である.

最初はこの定義の方が基本群のより自然な定義と考えていたが, そうでもなかった. このことは最後に書く.

上述のように $X$ の商空間 $\pi_1(X)$ を定義したときに次が成り立つ.

• (1) $\Omega(X)$ は各 $\Omega(X, x)$ $(x \in X)$ の和集合である. つまり \[ \Omega(X) = \coprod_{x \in X} \Omega(X, x) \] が成り立つ.
• 
  
• (2) $x_0 \in X$ を任意に固定する. $X$ は弧状連結だから, 各 $x \in X$ に対して道 $\gamma(x_0, x) : I \rightarrow X$ で
  
  　　$(\gamma(x_0, x))(0) = x_0$ かつ $(\gamma(x_0, x))(1) = x$
  
  となるものが存在する. このような道の族 $\{ \gamma(x_0, x) \}_{x \in X}$ を 1 つ選んで固定する. また, 各 $\alpha \in \Omega(X, x)$ $(x \in X)$ に対して写像 $\varphi(x, x_0) : \Omega(X, x) \rightarrow \Omega(X, x_0)$ を \[ (\varphi(x, x_0))(\alpha) = (\gamma(x_0, x)\alpha){\gamma(x_0, x)^{-1}}　　(\alpha \in \Omega(X, x)) \] と定義する. このとき各々の $\varphi(x, x_0)$ はホモトピー同値性を保存する.


• (3) 点付き位相空間 $(X, x_0)$ に対する基本群 $\pi_1(X, x_0)$ と $\pi_1(X)$ は集合として同型である. ループ空間 $\Omega(X, x_0)$ の元 $\alpha$ の同値関係 $〈homotopy/\Omega(X, x_0)〉$ による同値類を $[\alpha]_{\Omega(X, x_0)}$, ループ空間 $\Omega(X)$ の元 $\alpha$ の同値関係 $〈homotopy/\Omega(X)〉$ による同値類を $[\alpha]_{\Omega(X)}$ と書いたとき, 集合の同型写像 $i : \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(X)$, $r : \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ はそれぞれ
  
  　　$i([\alpha]_{\Omega(X, x_0)}) = [\alpha]_{\Omega(X)}$,
  　　$r([\alpha]_{\Omega(X)}) = [(\varphi(x, x_0))(\alpha)]_{\Omega(X, x_0)}　　(\alpha(0) = x = \alpha(1))$
  
  により与えられる.


• (4) 群 $\pi_1(X, x_0)$ における積を各 $a, b \in \pi_1(X, x_0)$ に対して \[ m_0(a, b) = ab = a \cdot b = a \cdot_{\Omega(X, x_0)} b, \] 各 $a \in \pi_1(X, x_0)$ にその逆元を対応させる写像を \[ inv_0(a) = a^{-1} \] とおく. また, $e_0$ を$\pi_1(X, x_0)$ の群の単位元とする. これらを用いて写像 $m : \pi_1(X) \times \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(X)$, $inv : \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(X)$ をそれぞれ
  
  　　$m = i \circ m_0 \circ (r \times r)$,
  　　$inv = i \circ inv_0 \circ r$
  
  と定義し, 元 $e \in \pi_1(X)$ を $e = i(e_0)$ により定義する. このとき, $m$ を積, $inv$ を逆元を与える写像, $e$ を単位元として $\pi_1(X)$ は群となる. つまり, 任意の $a, b, c \in \pi_1(X)$ に対して \[
  ab = a \cdot b = a \cdot_{\Omega(X)} b = m(a, b), \\
  a^{-1} = inv(a)
  \] とおいたとき, \[
  (ab)c = a(bc), \\
  aa^{-1} = a^{-1}a = e, \\
  ae = ea = a \] が成り立つ.


• $\pi_1(X)$ は群として $\pi_1(X, x_0)$ と同型である. 群の同型写像は $i : \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(X)$ と $r : \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(X)$ により与えられる.


• (5) 弧状連結な位相空間の圏を $\textbf{pcTop}$, 群の圏を $\textbf{Grp}$ とする. 任意の対象 $X, Y \in \text{Ob}(\textbf{pcTop})$ と任意の $\textbf{pcTop}$ の射 $f : X \rightarrow Y$ に対して写像 $\pi_1(f) : \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y)$ を \[
  (\pi_1(f))([\alpha]_{\Omega(X)}) = [f \circ \alpha]_{\Omega(Y)}　　(\alpha \in \Omega(X)) \] と定義する. このとき $\pi_1 : \textbf{pcTop} \rightarrow \textbf{Grp}$ は関手である.
  

ここまでだが, 一連の計算を通じてこのような基本群 $\pi_1(X)$ の定義は必ずしも自然なものではないという気がしてきている.

その理由を説明するが, うまく説明できるかどうか... あくまで自分の感じたことなので.

通常は弧状連結な点付き位相空間 $(X, x_0)$ (議論を簡単にするために弧状連結という条件を付けている. この条件が無くても中心的な議論の流れは変わらない) に対して, そのループ空間 $\Omega(X, x_0)$ をホモトピー同値関係 $〈homotopy/\Omega(X, x_0)〉$ で割った商空間 $\pi_1(X, x_0)$ を考える. これは $\Omega(X, x_0)$ 上の積 (ループの連結) から自然に導かれる積によって群になる. $\pi_1(X, x_0)$ を $X$ の基本群と呼ぶ.

この定義では, 元になるループ空間 $\Omega(X, x_0)$ はループの連結を積, ループの逆回しを逆元のようなもの, 定数ループを単位元のようなものとする構造を持っている. しかもループの積は任意の 2 つのループの間に定義される. 結合律が成り立っていないために群にはならないが, 群の素のような構造 (マグマと呼ぶらしい) を持っている. 基本群 $\pi_1(X, x_0)$ の構造がループ空間 $\Omega(X, x_0)$ におけるループに対する幾何学的な操作とうまく対応している.

一方, 弧状連結な位相空間 $X$ のループ空間 $\Omega(X)$ は, 任意の 2 つの元に対して定義される積というものを持たない. 基点が同じループ同士に対してのみ積が定義される. だから, $\pi_1(X)$ に群の構造を入れるためにある基点 $x_0 \in X$ を定め, $x_0$ から $X$ の各点 $x$ への道の族 $\{ \gamma(x_0, x) \}_{x \in X}$ と, 写像の族 $\{ \varphi(x, x_0) : \Omega(X, x) \rightarrow \Omega(X, x_0)\}_{x \in X}$ を選んで固定する. これによって各ループ $\alpha$ を写像 $\varphi(x, x_0)$ $(\alpha(0) = x = \alpha(1))$ によって $x_0$ を基点とするループ $(\varphi(x, x_0))(\alpha) = (\gamma(x_0, x)\alpha)\gamma(x_0, x)^{-1}$ に変換して $\Omega(X, x_0)$ でのループの積に還元し, これによって群の構造を $\pi_1(X)$ に定める. 技巧的であってあまりすっきりとした議論ではないという気がする.

位相空間に対する基本群というのは基点 $x_0$ を用いて定まる. 弧状連結な位相空間という幾何学的な対象については, 基点 $x_0$ は任意にとってよい. どのように選んでも結果の基本群は群として同型になるからである.
このことは実は弧状連結な位相空間というきれいな対象について真なだけではないのか.
一般に基本群をより一般的に考察した場合に, ある (必ずしも幾何学的とは限らない) 対象 $X$ に対する基本群というものが定義されるならば, それは基点の取り方に依存する場合もあるのではないか.

今回の自由研究で導入した $\Omega(X)$ というループ空間は構造がかなり緩い. その緩さを無理矢理に直接 $X$ の基本群 $\pi_1(X)$ に結びつける, 群という強い構造に結びつける議論も今ひとつすっきりしない.

ここから先は自分の数学の知識の先にあるような気がする.

ひとまず自由研究はこれらをノートに清書して終わりとして, 元々の本 ("Toposes, Triples and Theories") の流れである Hurewicz 変換の議論に戻ろうと思う.

作業療法で描いている絵に色を塗る.
細かい部分に色を塗っていくのが楽しい.
時間はかかりそうだけれど, こういう細かい作業ができるようになったのはメンタルの調子がゆっくりとではあるが上がってきた兆しだと思う.
ほぼ 10 年間, こうしたことがまったくできなかったのだ.

9 時起床.
午前中はチラシ配りの 1 月度の作業報告書を書く.
報告書は自分が所属している地区の営業所に 27 日必着で送らなければならない.
なかなか取りかかれず先延ばしにしていたらギリギリになってしまった.

会社勤めの時からそうだったが, 報告・連絡・ 相談, いわゆるホウレンソウができないというのは相変わらずである.
何度怒られても, 何度痛い思いをしてもいつの間にかやらなくなる.
その理由は人が怖いからできないという言い訳にもならないものだ. この幼稚さは何だろう?
その仕事の中で自分が求められている役割, チームでそれを成し遂げるためにメンバー間のコミュニケーションが必要であること, そういったことへの意識が皆無であり, 社会人・大人として失格だろう.
仕事を始めて 6, 7 年経ってあるプロジェクトの一員として 10 人程の開発チームに参加したときに, 報告・連絡・相談を行うことが自分にとって非常に困難な作業だとわかる.
そしてそのことでミスを侵しチームの他のメンバーに大きな迷惑を掛け, プロジェクトリーダーに尻拭いをさせてしまった. これがきっかけでそのような自分の問題を知った.
しかもそれを克服してチームの一員としてきちんと自分の役割を果たすことが精神的に大きな負担となった.

この辺りのことはそのうち別の文章にまとめたいが, 自分に合っていると感じるチラシ配りのバイトでも, 最低限のホウレンソウすらかろうじてできているというのが実際のところなのだ.

とりあえず書き終えたので, 郵便局まで出しに行く.
窓口の担当者に確認したら明日には届くということなのでひとまず安心する.

10 時起床.
昨日だか一昨日だったか, ネットで精神障害者が作成したアート作品の展示イベントが阿佐ヶ谷にある TAV GALLERY というところで行なわれていると知った. 美大の学生が中心になって開催している小さな催しで, できれば観に行きたいと思っていた.
どんな作品を作っているのだろう.
今日は体の調子もいいし外の空気を吸うのを兼ねて阿佐ヶ谷まで行ってみることにした.

阿佐ヶ谷駅を降りてギャラリーまで歩く.
天気もよく気持ちがいい.
やがて小さなギャラリーに辿り着きおどおどしながら中に入る.

1 時間半ほどかけて作品を観た.
いくつかの作品は病が作品に生々しく結び付いていて観るのが少し苦しい.
印象に残ったのは, 小さなパネルに「助けて」という言葉が無数に描かれた作品と, 同じ作者の作品をまとめたファイルである.
絵画を専攻している学生が描いたもので, 構図や色の使い方や筆致などの正確さにもかかわらず, どこか何かが変な感じを受ける. 描かれた女性の表情とかポーズとか, 整っているのだが何かひっかかる.
何だろう. 結局わからなかった.

最後は無数の「助けて」が描かれたパネル作品をずっと観ていた.
何がこういうおかしな印象を自分に伝えているのかもわからなかったが, なぜか惹き付けられてしまう.
観るのが少し辛い.

日も暮れそうになってきたので帰ることにする.
どこかで飲んでいきたい気分だったが, 酔って体調を崩すとアパートまで帰るのが苦しくなるので我慢する.

今日観た中のいくつかの作品, 特に病がそのまま作品に現れているような作品を描くのは制作者にとって自分を切り刻むことにはなっていないだろうか.
症状に影響はないだろうか.
描くことは救いにつながっているだろうか.

毎年やっているようなのだが, 来年も観にこれたらと思った.

帰宅してから抑鬱感が強くなり夕食をとらずに寝込む.

最近, 体調があまり安定していない.
朝と夕方は相変わらず鬱と不安で苦しい. 特に夕方が辛い.
朝ももう少し早く起きたい.

日常行っていることもなかなかできない.
朝起きて体重・体脂肪, 血圧を測ること. 5 日ほどやっていない.
家計簿を付けること. 3 日ほどやっていない.
掃除はかろうじて週に一回やっているが, 取りかかるのにかなり踏ん張らないといけない.
PC は 10 日くらい起動していないんじゃないかと思う.

嫌な夢をしょっちゅう見る.
過去の記憶の断片. 非常に鮮明で苦しい. うなされて汗びっしょりになって目が覚める回数が増えた気がする.
主治医には「夢に意味はありませんから」(という言葉だったと思うが記憶が曖昧) と言われたが, だから楽になるというものでもない.

もの忘れや不注意な行動が増えている.
その日の予定を頻繁に間違える.
料理の手順がわからなくなる.
人の名前を忘れる.
そんなこともあって外出時には今まで以上に緊張するし必死になる.

もうちょっと楽になればなあ...

10 時起床.
昨日に続いてチラシ配りに出かける.
非常に寒いが, 体調は悪くない.
街の風景が新鮮で楽しい. チラシ配りは自分に合った仕事だと思う.