スローライフの森　数１　＆　自家菜園

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大人のさび落とし

空間座標とベクトル　

ベクトルの図形への応用

平面図形（１）


01

その前に

予備知識を

引算足し算


実数倍


02

同一　平面　


垂直条件



03


分点　長さ　なす角


04


三角形の面積




05

ベクトルの設け方た

これで

だいたい　決まってしまう


06


で

ここから　平面図形（１）



07
図のように

ベクトルを　設けて

AM 　　と　EG　の　内積を

計算すればさ


08



図形の　角度の問題で

＝０になったので

AM　垂直　EG


09


（２）は　２AM　＝　EGを　

いうんですが


2乗して

内積で

展開してくと

➀


10

EGは　　�A



11

➀�Aは　絶対値2乗のとこは

等しいと

ドット　のところ

内積のとこは

絶対値の

等しいとこを置き換えて


ーｃ・ｄは


１８０−EAG

この　∠GAHとすれば


�Fページの　図を

良く見ていただくと

等しいのが　見えてくる


12


これはですよ

ベクトルの　設定で

決まってしまいます



これができれが

もう　オッケイ

あとは

内積の計算をすれば



13

円周上なので

実は

a ベクトルも　ｂベクトルも

半径で

長さが等しいので


＝０

すなわち　垂直　


∠APB=90度



14


問題


15

図にように

ベクトルを

設定できさえすれば

もう

半分できた

あとは　計算あるのみ



16

計算は　自分の文字が　

わかるように　じゃナイスカ


17

今日は　大丈夫だな


18

どこやってるか　わかるかな


19

ソレゾレ

部品の　値を　

計算してるんですが





20

で　全部　部品を　合計すると


左辺　

右辺

おなじだったから


成り立つ


21

問題


22

図にすると


こんな感じで

ベクトルの設定を

こんな感じにしますと


23


因数分解

みたいに　成ってるんですが

分かりますか


真ん中の項は　＝０



24

さらに　展開して

計算すると

こうでしょ


25


右辺は


26

で


なったじゃナイスカ


お疲れ様です。

大人のさび落とし


空間座標とベクトル　列ベクトル

01

今は

行列は

習うんでしょうか？

私のときは

習いましたが

同世代で

習わない人もいましたし

我らの後

習わなくなり

その後

また　習うようになったりとか


今回は　列ベクトルだけだから

グリコの　おまけ　

みたいなもんですよ





書き方が

横から　縦　


行から　列に　成っただけ


02

だからさ

同じなんだよ

ただ

横が　縦になっただけ



03

早い話が

こうやって　書いてもいいんだよ


とか


この方が

都合いい

ジャンか　なぁー

見たいに



04

一回　見ておけば

さ


05

単位ベクトルだから

�Aが出てくる



06

ここは　計算


07

直線と　平面は

平行の時は

方向係数と　法線ベクトルが

垂直


08


二つの　成分を

行列で書くときは

必ず

行、　列　の　順番で

書く



09

これは

列行列を

使って　書いてあるけど

問題を　解くときは

この方が

やりやすいよね

解いてくと



10


t=の形にするでしょ


11

これも



12


媒介変数表示の逆で


みんなつなげると

直線の方程式


13


こっち方は


14


ｓ＝



15

ｔ＝


16

ｓだけで　出てしまったけれど


これでいいです

お疲れ様です。

空間座標と　ベクトル


回転体の方程式

01

ななめの　空間直線を

ｚ軸周りに　

回転させてみたら

クビレ　が　できたよ

ッテいう

うれしい話ですが

この

方程式は

どんなモンジャラほいと


02

ｚ軸周りに

回転させるので

断面は

ｘｙ平面に

原点中心の

半径が　いくつかの円になる



しかしながら

ｚが　したから　上に


上がっていくと

その断面の　半径が

ｋ　の関数で　変化していく


そこで

関数から

ｋ　を

消去して

ｚ　のかかわりを

出してくるんですが


やってみましょう


先ず　直線の

方程式を

求めてですよ


03

＝ｋ　と置いて


媒介変数形表示


04

であるから

直線上の

任意の場所は

ｋを使って

こんな感じになるでしょ





05

Z軸上に　


垂線を　おろしてくると

半径

QPは



ｋの2次関数


06

Z＝ｋ　の　交わり

は　円で

半径は　ｋの関数



07

上から見たら

原点中心に

ｘｙ平面の　円

半径は


ｋの関数


Z=k　を　代入して


08

これが


今回の　クビレ方程式

積分で

体積を　だせば

こんな感じですが


09

問題

今度は

円すいの方程式



こんなんでいいカナ


簡単すぎる？



10

納得がいかない

じゃー


これは

難しいでしょ


説明が

しずらいですが

これです


11

今度はさ

いきなり

深いよ


今度は

ｘｙ　平面上の

楕円を

ｘじくまわりに

回すと


できる曲面の方程式は



12

楕円は

この　右辺が　＝１が


標準形で


a が　ｂ　より大きいときは

aが　長軸の半径

ｂが　短軸の半径

ｂ　と　aが

反対の時は

その逆



13

ｙ＝の式にするでしょ


14


図の　QR　が　＝ｙ　とすれば


断面の半径

ｘ軸周りに

回転するので

ｘが　動くと

半径が　変わる



15

こんな感じになって



16

これが　曲面の方程式



17

どうすりゃいいんだ



18


二つの　直線の

方程式を

掛け合わせるでしょ


そうしたら


題意の

曲面の方程式になったデショ



つまり

➀�Aが相方成り立っていて

掛け合わせたものが

曲面の式なので


曲面は　2直線を　含んでいる


お疲れ様です

大人のさび落とし

空間座標と　ベクトル

方べきの定理


01

球に　点Aを通る　直線が

交わるとき


その　交点を　P,Qとすれば

AP・AQは　常に　一定

であるということを

証明する問題


02

図に書くと　こんなイメージで

直線の

方程式を

Aを　通る

方向係数

L,m,n　の　直線

L,m,n　は　方向余弦を　使うと


03

＝ｔ　と置いて

直線の　媒介変数表示にして

ｔの値で


直線上の　場所が　出るように


04


直線の　媒介変数表示形を

球の方程式に　代入すると


05

これを

ｔの2次関数に　整理して



06

方向余弦を　使ってるので

＝１を使って


07


この2次関数の

2つの　解は

それぞれ

P　、Q　を　表していて

今回は

点Aからの

線分とみなして


08

解と　係数の　関係から

α・β　は　ｔ１・ｔ２


09


これが

AP・AQ　の積と　おなじであるから

一定である



10

方べきの定理


11

問題

先ず　球の接平面


次に

原点を　通る

直線と

球　、　接平面　の　交点を

P,Q

として

OP・OQ　が　一定を


証明せよ



12

先ず　球の　接平面は

前回の　とこでやってますが


球の　中心と　そこからの

半径のはしに　おける

平面との接点が　垂直であるから


まず

球の　中心を　知りたいから

変形して


13


球の　中心は　これ


それと

接点Aとを　結ぶ

ベクトルが


平面の法線ベクトルだから


点A　を　通り

法線ベクトルが分かれば



14





これを

展開した形に

しておくと


接平面の方程式



15


原点を

通る　直線が

球と　この接平面に

交わるところを

P、Q　としたとき

OP・OQの　積が

一定は


16


まず　


原点（0,0,0）を　通る

直線であるので

方向係数を

L,m,n

方向余弦にして

それぞれの　2乗の　和が　１


17


使う方程式

3っ

直線の方程式

球の方程式　

球の接平面の方程式




18

直線の　方程式を

媒介変数表示形にして


球の方程式に

代入していくと


19

方向余弦を

使ってるので

＝１になるを　使うんですよ


20

ｔは　０　または　これこれ

ｔ＝０は


直線上で原点を　表してるので

もう一方が　P


21

今度は

直線の媒介変数表示形を

球の接平面の方程式に

代入すると



22

ｔが


これは　Qだから

OP　OQ　の二乗　を　計算して


23

であるので

OP　と　OQの　積は

こんな感じで

これは


定点の値の　二乗の和の形

一定



24


問題

どういうことなのカナ


25

与式を


変形して

2乗して

展開して



26


ここから


27


平方完成に　持ち込んで


28

空気が　悪かったり

眠かったり

ブドウ糖が　減ってきたり

しますと

計算が

思うように　行きません

一回　寝て

起き

また　ねて　おき

3回目に

起きたときにですよ


29

なんとか

たどり着きまして


出じゃナイスカ


30
これがさ


なんだんだ

もう一つの　式に　等しいから

係数比較で




お疲れ様です。

大人のさび落とし


球と　接平面


01

まず　問題

球の方程式を　導く


02

球面上の　一点での　接平面


と

2点を　通り

球接する平面


03

まず

ベクトルの　引き算で

出てきたものが


Pは　動点だから

動き回るんだけど

いも　いつも　大きさが　同じ


ッテ式を


04

辺々2乗するでしょ


で

かっこの中身が

成分の引き算で



05



こんな感じに

成分の　引き算になるので


この　内積の　展開で



06



なりましたと


07

この　球面上の

点B　における　接平面は


平面の　垂直成分は


球の中心から　Bにおろした

垂線のベクトル


08


平面の　方程式は

垂直成分と

通過点がわかてるときの場合を

使って



09

BA　ベクトル

平面に垂直な成分


と


通過点　B　から



10
これに　代入してですよ



11


2点を　通り

球に接する平面は


今の　（２）　を

うまく使って


点B　で

球に　接している

その平面が


2点も　通過するで

代入して



ここでは　Aとすれば


Aの　X1　Y1　Z1　


を

特定すれば

平面の　方程式になるので



12


まず　球の方程式に

点Aで接する平面は



　
13


こんな形

それと

だいいから・・・



14


2点を

平面の　方程式に代入すると


�A�B　


15


➀�A�Bより

平面の方程式を

求めると



16

ｚ１


17


ｙ１



18


ｘ１



19


これを

整理した

平面の　方程式に　代入して



20



こんな感じに


21

4点を　通る

球の方程式


球の方程式の

平方完成する前の　形を

使って


22


4点を　逐次　代入してくと



23


こんな感じに


24

これらを

a,b,c,dに　

代入したらば



25

これです


26

球の方程式が

切り取る

直線の　方程式の長さ



27

直線の　方程式の　ｙ、ｚ　を

ｘで　置き換えて


球の　方程式に

代入したらば


ｘの　2次方程式に

なるにおだけれど


28



これは

異なる　２実数解を　持つので



29


その一つを　X１　


もう一方を　X２　



として



30

2点間の　距離を

計算すると



31

こんなデショ


32

計算を

間違わないようにじゃナイスカ



33


２つの

球があってですよ


交わりの

円の　半径を　求めよ



34

平面のところで

こんなのを

やったんですが



35

球でも

おなじですよ


36

今回は

この式は

ｋ＝−１　とすれば

ｘ2　ｙ2　ｚ2　が　消えて　平面を表す。


辺々引算して



出て来たのが

交円を含む　平面の方程式

のはずなので


37

これを　使って


38

交円を　含む　平面までの

距離を　計算すると



39

小さい球の

半径が分かってるので


お疲れ様です。

大人のさび落とし

空間座標　と　ベクトル

より

方向余弦

01


空間直線が

ｘ軸　ｙ軸　ｚ軸

と　なす角を

ソレゾレ

α　β　γ　とすれば


次の　等式が

成り立つことを　証明せよ



02

ベクトルは

平行移動していいので


原点まで

平行移動して

ソレゾレ

ｘ軸　ｙ軸　ｚ軸

と　なす角を

α　β　γ　とすると



直線を　P（ｘ、ｙ、ｚ）

とする時





03

COSα

COSβ

COSγ


は



まず　COSα　から見てくと


OP　分の　OA



04

COSβ

COSγ

も　同様にして


出そろった

COSα

COSβ

COSγ


を　それぞれ　2乗して

足してみますと


05


なったじゃナイスカ


06


ベクトルの

内積を　使った場合は


A,B,Cを　

（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1）


として

内積から

なす角　の　COSを　求めると


07

こんな感じに


08

なるじゃ


09

ナイスカ


10


であるから

ソレゾレ

2乗したものを

足すと


なったと


11


まとめ



12

こんな風にも


書けるてことカナ



13

問題


空間直線が

ｘ軸と　45度

ｙ軸と　60度

の角度を

なすとき

ｚ軸との　なす角は

どれくらいか


群馬県では

懐かしい　アニメを

夜中に

放送してましが


バルキリーが　放つ

ミサイルの横に

タコ酎ハイ　に　バドワイザー


14

で　今日は

z軸のなす角だから


さっき証明した式を

使って


15

なす角は

0から180ど

その範囲で

プラスマイナスを

考えると

コサインなので

動径の　x軸への影が

プラスマイナス　1/2


16

答は


17

次は

ちょっと違うんですよ


直線が

平面と　なす角

問題


18

ｘｙ　　ｙｚ　　ｚｘ

平面との

なす角であるから


こんな感じになるでよ



19

これを

計算してみると


20


大丈夫かな


21

計算を

はぶいてますが

OA+OB+OC=OP


を

辺々　絶対値2乗すれば

直交座標系なので

OA　OB　OC　の二乗以外の

項は　＝０　になってしまうので



22



問題


23


平面の　方程式を　➀として

それぞれの　平面の法線ベクトル


と


平面の法線ベクトルで

なす角を　出してくると



24


ｘｙ平面は　z方向が法線


25

ｙｚ平面は　x軸方向が　法線


26

こんな感じに


27

ｘｚ平面は　ｙ軸方向が　法線



28

出そろったので


29

二乗して

計算してくと



30


問題


31

こんな感じに

設定してですよ



32

入射光　反射光




対称になるから


33

それと

AB　と　ｘ＝ｙ＝ｚは　垂直だから



34


中点が　イコール　を　ｋと置いて



35

�A式に　代入して

ｋを　もとめて



36
これで


37
反射光の　成分を

計算したらば



38

こんな感じ



　

大人のさび落とし

空間座標とベクトル



2平面のなす角



A

なす角の　計算は

平面同士の時は

法線ベクトル

の　内積で出るのだけれど

問題によって

どちらの　角度を

聞いているか

ぎんみ　する必要がある



B

こちらの場合　

隣接面の

側面の　なす角


どっちかな

ッテ

吟味する必要がある

（机上の　数値計算の場合は）


01


それらを

前置きしておいて


問題


02


ｘｙ　平面の

垂線ベクトルは

0,0,1　




03

もう一つの　面は

計算しないと

わからないので


3点から

平面の式に

代入して


（　3点が　わかるときは

　　ベクトルでも　出ますが　）



04

全部　ｃ　で　表して

へてから　-1、-1,1



05

平面の式にして

符号を　整えて

1、1、-1


-1、-1,1　でもOK　ですが



06


そうすれば

内積の計算から

コサインで

求めて



07




ｙ　を　求めると


08


タンジェント　αは　-√2


図でいうところの

Θ　が　今回　なす角　Θなので


補角を　使って

TanΘ　は　√2



09


今度は

そのまま　計算できるパターン

（１）なす角は



（２）2平面の　交線は


（３）この等式を　証明して

（　2平面の交線を　含む　平面の

　　　方程式　）重要


（４）
を　落としてますが

原点と　この2平面の　交線を

含む　平面の方程式を

求めよ


（3）の結果を　使うと早い　



10

両平面の方程式から

垂線のベクトルを

内積で

計算して

なす角を　出すと



11

こんな感じに


12

そのまま
60度


13

2平面の　

交線は

そのまま　平面を

連立して解いて



14


ｘ＝ｙ−１＝−ｚ



15

この式を

証明して



まず

さっきの　2平面の連立

➀

これらの　二つの式は

すでに　成り立っている

しかも　＝０




16

0　+　ｋ（０）　＝　０


常に　成り立つデショ


17

今証明した

方程式を　使って

交線が　含まれているわけなんだから

さらに

指定された　点を　通るときの

ｋを　求めて


18

ｋ＝１


を　交線を　含む

平面の方程式の　ｋ　に代入すれば



19

こんな感じに



20

問題


21


平面の　方程式を

ax + by + cz =d

と置いて

（１，２，３）　を

代入



平面の方程式の　垂直成分

（a,b,c)　と　




22

それぞれの　平面の

垂直成分

（2、-3、4）

（3、　2、1）


の　内積が　＝０　を使って


23

計算してきますと


24

平面の方程式は


25

こんな感じで


26

2面の　なす角を

2等分する

平面の　方程式は


なす角を

2等分する

平面上の　点をP　（ｘ、ｙ、ｚ）


とすれば

点と　平面との距離が


等しくなるよを

式で　表して



27

こんなかんじに　一つ目


28


もう一方も

それを　=で結んで


29

プラスの時


マイナスの時



30

であるので

こんな感じで


31

問題


32

座標を　使ってみましょう



33

3点が　わかれば

平面の　方程式が出るから

まず　平面VAD



34

計算ちゅうです


35



平面VADは　ｘ+ｚ＝１



36

平面VABは


37


計算ちゅうです


38
平面VABは　ｙ+ｚ＝１



39


で

なす角を　計算するんですが


40

側面のなす角は

120度


答は　これです


考えてみましょう


お疲れ様です

大人のさび落とし



空間座標とベクトル　




の　方程式

01

まず　ざっと　方程式とか

理論とか


2直線の

平行


02


2直線の　垂直



03


2平面の　平行


04


2平面の垂直



05

直線と　平面が　平行

直線の方向係数は

直線に平行



06

平面の方程式は

係数が　平面に垂直


であるので

内積が　=0になる



逆に


直線が　平面に　

垂直な時は

直線と　直線の　平行の時

のようになる



07


2平面のなす角

ここは　徐行して

確認してみてください


成ってるでしょ



08


であるから

2平面の垂直成分から

COSΘは　こんな感じに



09

点と平面の距離は


こんな公式になるです



10
球の　方程式


11



A,Bが　直径の　両端に

あるときは



12



球面上の　接線の方程式は


13

以上踏まえまして

ここからは

問題を

今日は　平面と直線



空間の　点から


平面に　おろした


垂線の長さ

つまり

点と平面の　距離


平面に　垂直な　ベクトル

（a,b,c)


点Aを　通り

平面に　垂直な　直線と

平面の交点を

B　とすれば







14

Bの　座標が分かっていれば

ABベクトルの　絶対値で


点A　と　平面との

距離が出る



15


であるから

Bの座標を　求めたい


平面の　垂直成分が


そのまま


点Aを　通り

平面に　垂直な　直線の

方向係数ベクトル

であるので





16


直線の　方程式は

こんな感じ


これに　＝ｔ　と置いて


媒介変数形にするでしょ


だから

Bの　ｘ、ｙ、ｚ　に

これを　代入すればさ



17

これが

点Aを　通り

平面に　垂直な　直線

と

平面との

距離なんだけど



ここで

tが分かればいいのだから


18

今度は

ｔ　を

求めるでしょ

X=　　Y=　　Z=　の

媒介変数を

これは

直線上の点を

表してるので


平面の方程式に

代入すれば



共通なところ

交点になるので


19



すると

ｔは

こんなだから



20


これを

さっきのに

代入したらば




21

こんな感じで



22

√を
外せば


23

別解は


平面の　垂直成分と

直線ABの方向係数が

等しいので


平行を使って








24


ABベクトル

OPベクトル


コサイン



25

まず　矢線ベクトルから

➀


26

成分の内積から

�A


27

絶対値は

ゼロ以上だから


28

三点を　通る平面に


原点から

下した　垂線の長さ


原点と平面の距離だね



29

３点が　

同一平面上にあれば



この式を

使って



30

平面の媒介変数形方程式


を　作っていくと


31


平面上の　全ての

ベクトルは

異なった　二つの

ベクトルの

和の形になる

じゃナイスカ


32

列で　書いた方が

分かりやすい



これを　


連立に　して



33

ｔ　は

ｓ　は



34


これを

➀に代入して


35

これが　平面の

方程式




36


原点との距離は

点と平面との

距離の公式を使って


37

類題

今度は

原点でない　点と

平面との　距離


やり方は　同じ


38

AB　ベクトル　


と　


ACベクトルの


和で

APベクトルを

出して


39

平面上に　

原点が　あるから

式が　少し簡単になる



40


ｔ　　ｓ　　

を　求めて


41

➀に　代入して


42

平面の

方程式が出たから


点と平面との距離

の公式で


43

問題



44


まず　公式通りに

ここで



この　分母の　



√を　使うんだって



45

平面の式を

こんな感じに

考えれば



46


なるでしょ


47

追記


48
平行な

2平面の距離は？




49
平面であれば

少なくとも

（a,b,c) の内

一つは　ゼロではない


これを使って



50

こうなるんだって



お疲れ様です。

空間座標とベクトル

今日は


平面の方程式の
媒介変数形


01

問題



02

平面上の　ベクトルは

異なる　二つのベクトルの

実数倍で


すべて　表せる



03
そこで

イメージとしては

対角線

APベクトルは

ｔ倍のABベクトル

と

ｓ倍のACベクトルの

和

（p-a)=t(b-a)+s(c-a)

この　左辺のaベクトルを

じゃナイスカ



04

なったデショ


05


実際に

ベクトル方程式に

数値を　入れると





06


列で書いた方が

見やすいと思ってさ


ね


07

計算して

整理したらば



08

ここから

ｓ、ｔ　を　消去して

x、y、z、定数の

式にすればいいので


まず　ｔ



09

次に　ｓ


10


�B式に　ｔ、ｓを　代入して



11


問題

まずですね

z軸との交点の座標は


12


ｘ1＝０、Y＝０

を　代入したら

�C


13

それと　

�D


�C�Dより


14
ｔは　8/3



15

ｓは　-7/3



16

これら

ｔ、ｓを

�B式に　代入して


ｚ＝１０

であるから

（0,0,10）






17

この平面と

ｘｙ平面の

交線は


Z=0を　代入して



18


ｘの式から



19


ｙの式から


20

これらを

足すでしょ


z=0の時に

ｘ+ｙ＝10



21

この　さん式から


ｓ、ｔを

消去すればいいのだから



22

色々やり方は

あるとおもいますが

➀-�Bから

�C


23

�A＋�B×2で

�D



24

�C�Dを　足すと



ｘ+ｙ+ｚ-10＝０



25

もんだい


26

（１）


ｙ　、ｚから　α　、β





27

平面の方程式は


28

題意を　良く見ると

ax+by+cz+d=0


の形ではなく


ax+by+cz=d


であるので

ここで　指示違反で

原点は　もったいない



29

（２）

α　βの

範囲から




ｙ、ｚは　ゼロ以上


30

境界線を　求めると

ｙ＝-2ｘ+２


xy平面は　平場ですが


31

ｘｚ平面は

ｚ＝-3ｘ+3



こんな感じで

赤斜線の部分



32


さらに

（３）

ｙ　ｚ


の範囲が



33

ｘの範囲は



34

座標にすれば


35

辺の長さは

ベクトルの

絶対値で求まるので



36

底辺√５

ななめが　√10


37

角度を　求めて

siｎを　使いたいので


内積を　いじりながら



38


COSがでれば

sinが出るというわけで


39

ね


40

底辺　×　高さは



高さが　斜辺×sinA

であるので


7



お疲れ様です。

空間座標とベクトル　平面の方程式



01

平面の方程式

ある　空間ベクトルがあって

そのベクトルに　垂直な

平面

これが　平面の方程式なんですが



3次元空間で

ある方向に　矢印が向いてるでしょ

その

矢印に　垂直な　

直線群を

考えると


無数にある　直線が

その

ベクトルに対して

平面を　なしている




02


そこで


平面上の　任意の点を

どこにとっても

どんなにとっても


その　一つを　P（ｘ、ｙ、ｚ）

と　しようか



PA　ベクトルは　

OA　ベクトルに

垂直だよ



03

PA　ベクトルを

けいさんして

成分でさ　やったデショ


このベクトルと　（ｌ,m,n)　が

垂直だから


内積＝０



04

展開してくと

こんな感じで


途中で

マイナスを　くくって

払ったんだけど


初めから

PA　ベクトルじゃなくて


AP　ベクトルで

計算すれば

同じこと

だから　これが


平面の方程式



05

（a,b,c) は

平面に　垂直な　ベクトルになるので

少なくとも

一つは　0　ではない


そうでないと


垂直な　ベクトルにならず

点に　なってしまう

（原点）

平面の　

方程式に

平面上に　ある　点を

代入して


06

➀�A�B�C

として

➀-�A

（�A−➀）　にした方がよかったかな



07


BA　ベクトルと

P　ベクトル　と考えると


08

内積は　こんな感じに　成るんだけど

このあたいは

➀−�Aより

＝０


であるから

内積＝０　で　垂直


09

同様に



10

同様に


11

ゆえに


12


問題

これこれの点を　とおり

これこれの　直線に　垂直な

平面の方程式


を

求めよ



13

平面の　方程式の　形は

こんなで

　（a,b,c)は　平面に　垂直な

ベクトル



直線は　こんな

で

直線の時の

分母は　方向係数

直線に平行な成分


題意では

直線に　垂直な平面とあるから


そのまま


直線の　方向係数が

今回は　平面の垂直方向を

向いている


14


であるので

平面の方程式に代入して


通過点を

（x,y,z)に　代入すれば

ｄは　-8

求める

平面の方程式は

こんな


15

三点が

与えられてるときの
平面の

方程式



16

３点を　方程式に

代入して


17

a＝
-ｄ/3


18


C=

-ｄ/3



19

ｂ＝

-ｄ/3



20

a=b=c=-ｄ/3


a=b=cは　０ではないので

-ｄ/3　も　０ではない

で

払って


21


整えると


平面の方程式は

こんな感じ



22

問題

平面の方程式を

求めよ



23



直線の

方程式から

これは　（１，２，３）を　通る

方向ベクトルは

（２，３，４）



24


媒介変数表示にして

直線は

平面に　含まれてるから

ｔの値を

適当に　入れて

もう一点　求めて

ｔ＝１　とすれば


25

この　２点と

其の他　１点を


通るから


26


直線上の　２点と

（0,0,0）　から

ベクトルを

２つ　出してベクトル

は　直線の方程式の

方向係数だから



27


直線の上の　２点の

ベクトルを

求めれば

一目瞭然


28


二点間の　ベクトルは

直線の　方向係数に　成るでしょ


この３本と

平面に垂直なP（a,b,c)が　垂直だから



29

内積　＝０　が３本



30


ｂ＝−２ｃ



31


a＝ｃ

a:b:c＝c:-2c:c



32


a:b:c＝　1：-2：1





平面上の点と　a,b,c


と　平面上の

点の座標から

ｄ＝０

であるので


平面の方程式は


こんな感じで




33


もんだい


34


２つの　直線の　方向係数ベクトル

と

平面の方程式の　（a,b,c)は

垂直なので


内積の式が　２つ


文字が３つ



35

➀�A　　と　�B


36

➀�Aから

ｂは　-ｃ/7

aは　-19ｃ/7　



37


a:b:c は　こんなデショ



で

�B式より　ｄ＝13ｃ/7


でしょ



38



ナタメ

こうです





おつあれ様です。