スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし

空間座標とベクトル



2平面のなす角



A

なす角の　計算は

平面同士の時は

法線ベクトル

の　内積で出るのだけれど

問題によって

どちらの　角度を

聞いているか

ぎんみ　する必要がある



B

こちらの場合　

隣接面の

側面の　なす角


どっちかな

ッテ

吟味する必要がある

（机上の　数値計算の場合は）


01


それらを

前置きしておいて


問題


02


ｘｙ　平面の

垂線ベクトルは

0,0,1　




03

もう一つの　面は

計算しないと

わからないので


3点から

平面の式に

代入して


（　3点が　わかるときは

　　ベクトルでも　出ますが　）



04

全部　ｃ　で　表して

へてから　-1、-1,1



05

平面の式にして

符号を　整えて

1、1、-1


-1、-1,1　でもOK　ですが



06


そうすれば

内積の計算から

コサインで

求めて



07




ｙ　を　求めると


08


タンジェント　αは　-√2


図でいうところの

Θ　が　今回　なす角　Θなので


補角を　使って

TanΘ　は　√2



09


今度は

そのまま　計算できるパターン

（１）なす角は



（２）2平面の　交線は


（３）この等式を　証明して

（　2平面の交線を　含む　平面の

　　　方程式　）重要


（４）
を　落としてますが

原点と　この2平面の　交線を

含む　平面の方程式を

求めよ


（3）の結果を　使うと早い　



10

両平面の方程式から

垂線のベクトルを

内積で

計算して

なす角を　出すと



11

こんな感じに


12

そのまま
60度


13

2平面の　

交線は

そのまま　平面を

連立して解いて



14


ｘ＝ｙ−１＝−ｚ



15

この式を

証明して



まず

さっきの　2平面の連立

➀

これらの　二つの式は

すでに　成り立っている

しかも　＝０




16

0　+　ｋ（０）　＝　０


常に　成り立つデショ


17

今証明した

方程式を　使って

交線が　含まれているわけなんだから

さらに

指定された　点を　通るときの

ｋを　求めて


18

ｋ＝１


を　交線を　含む

平面の方程式の　ｋ　に代入すれば



19

こんな感じに



20

問題


21


平面の　方程式を

ax + by + cz =d

と置いて

（１，２，３）　を

代入



平面の方程式の　垂直成分

（a,b,c)　と　




22

それぞれの　平面の

垂直成分

（2、-3、4）

（3、　2、1）


の　内積が　＝０　を使って


23

計算してきますと


24

平面の方程式は


25

こんな感じで


26

2面の　なす角を

2等分する

平面の　方程式は


なす角を

2等分する

平面上の　点をP　（ｘ、ｙ、ｚ）


とすれば

点と　平面との距離が


等しくなるよを

式で　表して



27

こんなかんじに　一つ目


28


もう一方も

それを　=で結んで


29

プラスの時


マイナスの時



30

であるので

こんな感じで


31

問題


32

座標を　使ってみましょう



33

3点が　わかれば

平面の　方程式が出るから

まず　平面VAD



34

計算ちゅうです


35



平面VADは　ｘ+ｚ＝１



36

平面VABは


37


計算ちゅうです


38
平面VABは　ｙ+ｚ＝１



39


で

なす角を　計算するんですが


40

側面のなす角は

120度


答は　これです


考えてみましょう


お疲れ様です