スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし



空間座標とベクトル　




の　方程式

01

まず　ざっと　方程式とか

理論とか


2直線の

平行


02


2直線の　垂直



03


2平面の　平行


04


2平面の垂直



05

直線と　平面が　平行

直線の方向係数は

直線に平行



06

平面の方程式は

係数が　平面に垂直


であるので

内積が　=0になる



逆に


直線が　平面に　

垂直な時は

直線と　直線の　平行の時

のようになる



07


2平面のなす角

ここは　徐行して

確認してみてください


成ってるでしょ



08


であるから

2平面の垂直成分から

COSΘは　こんな感じに



09

点と平面の距離は


こんな公式になるです



10
球の　方程式


11



A,Bが　直径の　両端に

あるときは



12



球面上の　接線の方程式は


13

以上踏まえまして

ここからは

問題を

今日は　平面と直線



空間の　点から


平面に　おろした


垂線の長さ

つまり

点と平面の　距離


平面に　垂直な　ベクトル

（a,b,c)


点Aを　通り

平面に　垂直な　直線と

平面の交点を

B　とすれば







14

Bの　座標が分かっていれば

ABベクトルの　絶対値で


点A　と　平面との

距離が出る



15


であるから

Bの座標を　求めたい


平面の　垂直成分が


そのまま


点Aを　通り

平面に　垂直な　直線の

方向係数ベクトル

であるので





16


直線の　方程式は

こんな感じ


これに　＝ｔ　と置いて


媒介変数形にするでしょ


だから

Bの　ｘ、ｙ、ｚ　に

これを　代入すればさ



17

これが

点Aを　通り

平面に　垂直な　直線

と

平面との

距離なんだけど



ここで

tが分かればいいのだから


18

今度は

ｔ　を

求めるでしょ

X=　　Y=　　Z=　の

媒介変数を

これは

直線上の点を

表してるので


平面の方程式に

代入すれば



共通なところ

交点になるので


19



すると

ｔは

こんなだから



20


これを

さっきのに

代入したらば




21

こんな感じで



22

√を
外せば


23

別解は


平面の　垂直成分と

直線ABの方向係数が

等しいので


平行を使って








24


ABベクトル

OPベクトル


コサイン



25

まず　矢線ベクトルから

➀


26

成分の内積から

�A


27

絶対値は

ゼロ以上だから


28

三点を　通る平面に


原点から

下した　垂線の長さ


原点と平面の距離だね



29

３点が　

同一平面上にあれば



この式を

使って



30

平面の媒介変数形方程式


を　作っていくと


31


平面上の　全ての

ベクトルは

異なった　二つの

ベクトルの

和の形になる

じゃナイスカ


32

列で　書いた方が

分かりやすい



これを　


連立に　して



33

ｔ　は

ｓ　は



34


これを

➀に代入して


35

これが　平面の

方程式




36


原点との距離は

点と平面との

距離の公式を使って


37

類題

今度は

原点でない　点と

平面との　距離


やり方は　同じ


38

AB　ベクトル　


と　


ACベクトルの


和で

APベクトルを

出して


39

平面上に　

原点が　あるから

式が　少し簡単になる



40


ｔ　　ｓ　　

を　求めて


41

➀に　代入して


42

平面の

方程式が出たから


点と平面との距離

の公式で


43

問題



44


まず　公式通りに

ここで



この　分母の　



√を　使うんだって



45

平面の式を

こんな感じに

考えれば



46


なるでしょ


47

追記


48
平行な

2平面の距離は？




49
平面であれば

少なくとも

（a,b,c) の内

一つは　ゼロではない


これを使って



50

こうなるんだって



お疲れ様です。