スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし

空間座標　と　ベクトル

より

方向余弦

01


空間直線が

ｘ軸　ｙ軸　ｚ軸

と　なす角を

ソレゾレ

α　β　γ　とすれば


次の　等式が

成り立つことを　証明せよ



02

ベクトルは

平行移動していいので


原点まで

平行移動して

ソレゾレ

ｘ軸　ｙ軸　ｚ軸

と　なす角を

α　β　γ　とすると



直線を　P（ｘ、ｙ、ｚ）

とする時





03

COSα

COSβ

COSγ


は



まず　COSα　から見てくと


OP　分の　OA



04

COSβ

COSγ

も　同様にして


出そろった

COSα

COSβ

COSγ


を　それぞれ　2乗して

足してみますと


05


なったじゃナイスカ


06


ベクトルの

内積を　使った場合は


A,B,Cを　

（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1）


として

内積から

なす角　の　COSを　求めると


07

こんな感じに


08

なるじゃ


09

ナイスカ


10


であるから

ソレゾレ

2乗したものを

足すと


なったと


11


まとめ



12

こんな風にも


書けるてことカナ



13

問題


空間直線が

ｘ軸と　45度

ｙ軸と　60度

の角度を

なすとき

ｚ軸との　なす角は

どれくらいか


群馬県では

懐かしい　アニメを

夜中に

放送してましが


バルキリーが　放つ

ミサイルの横に

タコ酎ハイ　に　バドワイザー


14

で　今日は

z軸のなす角だから


さっき証明した式を

使って


15

なす角は

0から180ど

その範囲で

プラスマイナスを

考えると

コサインなので

動径の　x軸への影が

プラスマイナス　1/2


16

答は


17

次は

ちょっと違うんですよ


直線が

平面と　なす角

問題


18

ｘｙ　　ｙｚ　　ｚｘ

平面との

なす角であるから


こんな感じになるでよ



19

これを

計算してみると


20


大丈夫かな


21

計算を

はぶいてますが

OA+OB+OC=OP


を

辺々　絶対値2乗すれば

直交座標系なので

OA　OB　OC　の二乗以外の

項は　＝０　になってしまうので



22



問題


23


平面の　方程式を　➀として

それぞれの　平面の法線ベクトル


と


平面の法線ベクトルで

なす角を　出してくると



24


ｘｙ平面は　z方向が法線


25

ｙｚ平面は　x軸方向が　法線


26

こんな感じに


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ｘｚ平面は　ｙ軸方向が　法線



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出そろったので


29

二乗して

計算してくと



30


問題


31

こんな感じに

設定してですよ



32

入射光　反射光




対称になるから


33

それと

AB　と　ｘ＝ｙ＝ｚは　垂直だから



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中点が　イコール　を　ｋと置いて



35

�A式に　代入して

ｋを　もとめて



36
これで


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反射光の　成分を

計算したらば



38

こんな感じ