2022年12月11日
22029 大人のさび落とし 空間座標とベクトル 平面の方程式
空間座標とベクトル 平面の方程式
01
平面の方程式
ある 空間ベクトルがあって
そのベクトルに 垂直な
平面
これが 平面の方程式なんですが
3次元空間で
ある方向に 矢印が向いてるでしょ
その
矢印に 垂直な
直線群を
考えると
無数にある 直線が
その
ベクトルに対して
平面を なしている
02
そこで
平面上の 任意の点を
どこにとっても
どんなにとっても
その 一つを P（ｘ、ｙ、ｚ）
と しようか
PA ベクトルは
OA ベクトルに
垂直だよ
03
PA ベクトルを
けいさんして
成分でさ やったデショ
このベクトルと （ｌ,m,n) が
垂直だから
内積＝０
04
展開してくと
こんな感じで
途中で
マイナスを くくって
払ったんだけど
初めから
PA ベクトルじゃなくて
AP ベクトルで
計算すれば
同じこと
だから これが
平面の方程式
05
（a,b,c) は
平面に 垂直な ベクトルになるので
少なくとも
一つは 0 ではない
そうでないと
垂直な ベクトルにならず
点に なってしまう
（原点）
平面の
方程式に
平面上に ある 点を
代入して
06
➀②③④
として
➀-②
（②－➀） にした方がよかったかな
07
BA ベクトルと
P ベクトル と考えると
08
内積は こんな感じに 成るんだけど
このあたいは
➀－②より
＝０
であるから
内積＝０ で 垂直
09
同様に
10
同様に
11
ゆえに
12
問題
これこれの点を とおり
これこれの 直線に 垂直な
平面の方程式
を
求めよ
13
平面の 方程式の 形は
こんなで
（a,b,c)は 平面に 垂直な
ベクトル
直線は こんな
で
直線の時の
分母は 方向係数
直線に平行な成分
題意では
直線に 垂直な平面とあるから
そのまま
直線の 方向係数が
今回は 平面の垂直方向を
向いている
14
であるので
平面の方程式に代入して
通過点を
（x,y,z)に 代入すれば
ｄは -8
求める
平面の方程式は
こんな
15
三点が
与えられてるときの
平面の
方程式
16
３点を 方程式に
代入して
17
a＝
-ｄ/3
18
C=
-ｄ/3
19
ｂ＝
-ｄ/3
20
a=b=c=-ｄ/3
a=b=cは ０ではないので
-ｄ/3 も ０ではない
で
払って
21
整えると
平面の方程式は
こんな感じ
22
問題
平面の方程式を
求めよ
23
直線の
方程式から
これは （１，２，３）を 通る
方向ベクトルは
（２，３，４）
24
媒介変数表示にして
直線は
平面に 含まれてるから
ｔの値を
適当に 入れて
もう一点 求めて
ｔ＝１ とすれば
25
この ２点と
其の他 １点を
通るから
26
直線上の ２点と
（0,0,0） から
ベクトルを
２つ 出してベクトル
は 直線の方程式の
方向係数だから
27
直線の上の ２点の
ベクトルを
求めれば
一目瞭然
28
二点間の ベクトルは
直線の 方向係数に 成るでしょ
この３本と
平面に垂直なP（a,b,c)が 垂直だから
29
内積 ＝０ が３本
30
ｂ＝－２ｃ
31
a＝ｃ
a:b:c＝c:-2c:c
32
a:b:c＝ 1：-2：1
平面上の点と a,b,c
と 平面上の
点の座標から
ｄ＝０
であるので
平面の方程式は
こんな感じで
33
もんだい
34
２つの 直線の 方向係数ベクトル
と
平面の方程式の （a,b,c)は
垂直なので
内積の式が ２つ
文字が３つ
35
➀② と ③
36
➀②から
ｂは -ｃ/7
aは -19ｃ/7
37
a:b:c は こんなデショ
で
③式より ｄ＝13ｃ/7
でしょ
38
ナタメ
こうです
おつあれ様です。
01
平面の方程式
ある 空間ベクトルがあって
そのベクトルに 垂直な
平面
これが 平面の方程式なんですが
3次元空間で
ある方向に 矢印が向いてるでしょ
その
矢印に 垂直な
直線群を
考えると
無数にある 直線が
その
ベクトルに対して
平面を なしている
02
そこで
平面上の 任意の点を
どこにとっても
どんなにとっても
その 一つを P（ｘ、ｙ、ｚ）
と しようか
PA ベクトルは
OA ベクトルに
垂直だよ
03
PA ベクトルを
けいさんして
成分でさ やったデショ
このベクトルと （ｌ,m,n) が
垂直だから
内積＝０
04
展開してくと
こんな感じで
途中で
マイナスを くくって
払ったんだけど
初めから
PA ベクトルじゃなくて
AP ベクトルで
計算すれば
同じこと
だから これが
平面の方程式
05
（a,b,c) は
平面に 垂直な ベクトルになるので
少なくとも
一つは 0 ではない
そうでないと
垂直な ベクトルにならず
点に なってしまう
（原点）
平面の
方程式に
平面上に ある 点を
代入して
06
➀②③④
として
➀-②
（②－➀） にした方がよかったかな
07
BA ベクトルと
P ベクトル と考えると
08
内積は こんな感じに 成るんだけど
このあたいは
➀－②より
＝０
であるから
内積＝０ で 垂直
09
同様に
10
同様に
11
ゆえに
12
問題
これこれの点を とおり
これこれの 直線に 垂直な
平面の方程式
を
求めよ
13
平面の 方程式の 形は
こんなで
（a,b,c)は 平面に 垂直な
ベクトル
直線は こんな
で
直線の時の
分母は 方向係数
直線に平行な成分
題意では
直線に 垂直な平面とあるから
そのまま
直線の 方向係数が
今回は 平面の垂直方向を
向いている
14
であるので
平面の方程式に代入して
通過点を
（x,y,z)に 代入すれば
ｄは -8
求める
平面の方程式は
こんな
15
三点が
与えられてるときの
平面の
方程式
16
３点を 方程式に
代入して
17
a＝
-ｄ/3
18
C=
-ｄ/3
19
ｂ＝
-ｄ/3
20
a=b=c=-ｄ/3
a=b=cは ０ではないので
-ｄ/3 も ０ではない
で
払って
21
整えると
平面の方程式は
こんな感じ
22
問題
平面の方程式を
求めよ
23
直線の
方程式から
これは （１，２，３）を 通る
方向ベクトルは
（２，３，４）
24
媒介変数表示にして
直線は
平面に 含まれてるから
ｔの値を
適当に 入れて
もう一点 求めて
ｔ＝１ とすれば
25
この ２点と
其の他 １点を
通るから
26
直線上の ２点と
（0,0,0） から
ベクトルを
２つ 出してベクトル
は 直線の方程式の
方向係数だから
27
直線の上の ２点の
ベクトルを
求めれば
一目瞭然
28
二点間の ベクトルは
直線の 方向係数に 成るでしょ
この３本と
平面に垂直なP（a,b,c)が 垂直だから
29
内積 ＝０ が３本
30
ｂ＝－２ｃ
31
a＝ｃ
a:b:c＝c:-2c:c
32
a:b:c＝ 1：-2：1
平面上の点と a,b,c
と 平面上の
点の座標から
ｄ＝０
であるので
平面の方程式は
こんな感じで
33
もんだい
34
２つの 直線の 方向係数ベクトル
と
平面の方程式の （a,b,c)は
垂直なので
内積の式が ２つ
文字が３つ
35
➀② と ③
36
➀②から
ｂは -ｃ/7
aは -19ｃ/7
37
a:b:c は こんなデショ
で
③式より ｄ＝13ｃ/7
でしょ
38
ナタメ
こうです
おつあれ様です。
