スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし

空間座標と　ベクトル

方べきの定理


01

球に　点Aを通る　直線が

交わるとき


その　交点を　P,Qとすれば

AP・AQは　常に　一定

であるということを

証明する問題


02

図に書くと　こんなイメージで

直線の

方程式を

Aを　通る

方向係数

L,m,n　の　直線

L,m,n　は　方向余弦を　使うと


03

＝ｔ　と置いて

直線の　媒介変数表示にして

ｔの値で


直線上の　場所が　出るように


04


直線の　媒介変数表示形を

球の方程式に　代入すると


05

これを

ｔの2次関数に　整理して



06

方向余弦を　使ってるので

＝１を使って


07


この2次関数の

2つの　解は

それぞれ

P　、Q　を　表していて

今回は

点Aからの

線分とみなして


08

解と　係数の　関係から

α・β　は　ｔ１・ｔ２


09


これが

AP・AQ　の積と　おなじであるから

一定である



10

方べきの定理


11

問題

先ず　球の接平面


次に

原点を　通る

直線と

球　、　接平面　の　交点を

P,Q

として

OP・OQ　が　一定を


証明せよ



12

先ず　球の　接平面は

前回の　とこでやってますが


球の　中心と　そこからの

半径のはしに　おける

平面との接点が　垂直であるから


まず

球の　中心を　知りたいから

変形して


13


球の　中心は　これ


それと

接点Aとを　結ぶ

ベクトルが


平面の法線ベクトルだから


点A　を　通り

法線ベクトルが分かれば



14





これを

展開した形に

しておくと


接平面の方程式



15


原点を

通る　直線が

球と　この接平面に

交わるところを

P、Q　としたとき

OP・OQの　積が

一定は


16


まず　


原点（0,0,0）を　通る

直線であるので

方向係数を

L,m,n

方向余弦にして

それぞれの　2乗の　和が　１


17


使う方程式

3っ

直線の方程式

球の方程式　

球の接平面の方程式




18

直線の　方程式を

媒介変数表示形にして


球の方程式に

代入していくと


19

方向余弦を

使ってるので

＝１になるを　使うんですよ


20

ｔは　０　または　これこれ

ｔ＝０は


直線上で原点を　表してるので

もう一方が　P


21

今度は

直線の媒介変数表示形を

球の接平面の方程式に

代入すると



22

ｔが


これは　Qだから

OP　OQ　の二乗　を　計算して


23

であるので

OP　と　OQの　積は

こんな感じで

これは


定点の値の　二乗の和の形

一定



24


問題

どういうことなのカナ


25

与式を


変形して

2乗して

展開して



26


ここから


27


平方完成に　持ち込んで


28

空気が　悪かったり

眠かったり

ブドウ糖が　減ってきたり

しますと

計算が

思うように　行きません

一回　寝て

起き

また　ねて　おき

3回目に

起きたときにですよ


29

なんとか

たどり着きまして


出じゃナイスカ


30
これがさ


なんだんだ

もう一つの　式に　等しいから

係数比較で




お疲れ様です。