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2019年03月10日
9003 大人のさび落とし ベクトルの実数倍
ベクトルの実数倍
その前に
平面上のベクトルは
すべて
ｍ aベクトル + ｎ ｂベクトル
の形で 表現できる
一つ上に行くと
これが ３次元に 成ってくっる
ベクトルの 実数倍
平行 共線 条件
ベクトルの 実数計算
これがさ
出てくるんだけど
分点ベクトル
分子は 遠いほうを 掛ける形
外分の時は ｎを －ｎに変えて
分点ベクトルの公式に 入れる
右に 外分
左に 外分
ここが ポイント
分点ベクトルで 考えて
式変形から
ベクトルは こんな感じに 表せる
または こんな形に
表せる
問題
４辺形 ABCD において
辺AB 辺DC を ２：３に
内分する点を P,Q,
とする時
ADベクトル＝a
BCベクトル＝ｂを
用いて PQベクトルを a,b,
で 表せ
P は ABを ２：３に内分する点なので
PA PB は 同じ線分上で
２：３
のおおきさ
ベクトルの 向きを 考慮して
ｃベクトルとして 書くと
２ｃ と ―３ｃ になる
同様に
DQ=2d
CQ＝－３ｄ
（ｄベクトルを考えて ）
PQベクトルの
上側と 下側で
ベクトルを 足し合わせて
＝PQベクトルとして
連立方程式にして
ｃ、ｄ、 ベクトルを 消去すれば
a,b,で PQを 表せる
時計回りと
反時計回りに
ベクトルを それぞれたすでしょ
PQ= が 二つ出てきたので
ソレゾレ ２倍 ３倍して
足し合わせると
こんな感じで
出たよ
もう一つの 方法は
対角線
BDを 引いて
BDを ３：２にする点をRとすれば
三角形 ABD ,CDB
を 見る時
それぞれの 底辺と
PR QR が 平行なので
PR=3/5AD
QR=2/5BC
PQ=PR＋RQだから
答えは さっきと同じ
４辺形
ABCD に おいて
AD、 BC、の中点を M,N, とする時
AB+DC=2MNを 証明しなさい
Mは ADの 中点なのだから
A,M,D,は 一直線で
MA=ｃ とすれば MD=-ｃ
Nも 同様に
考えて
BN=ｄ とすれば CN＝－ｄ
AB=a, DC=ｂ, とすれば
反時計回りは
こんなんで
時計回りは
こ
これを 足し合わせると
なったじゃナイスカ
平面上のベクトル
OA、OB,OC,OD,OE,が
２OA+４OC=3(OB+OD)
２OA+OC=3OE
の時
４辺形は どんな形か
平行四辺形！
なんで
そう思っちゃったんだけどさ
それは ダメでしょ
４辺形は BCDE だから
こんな感じか
どっかに O がいてじゃナイスカ
条件式があるから
変形して
一つに まとめてみたら
OE+OC=OB+OD
４辺形の 対辺に 着目すると
ベクトルの 差の 式が あったでしょ
ベクトルから ベクトルを 引くと
ベクトルの 向きが こんなだからさ
BC=OC-OB
ED=OD-OE
の形に 成れば
対辺を 表現してることに 成るので
これは 平行四辺形だ
平行四辺形 ABCD の 辺BCの中点を
Eとして
AE、BD、の 交点をFとすれば
Fは BDの３等分点の一つである
ことを
ベクトルを 用いて 証明せよ
AB=a
BE=b
と置くでしょ
たしざんで AE=a+b
BDの方は
AD-AB で 表現できるので
２ｂ－a
一直線上に BFD があるので
BF=ｋBD
BD=2ｂ－a
BF＝ ｋ (２b－a）
AE と BD を 関連ずけるに
AF＝AB+BF
＝a+BF
BF= ｋ(２b－a）
AF= a+ｋ(２b－a）
A,F,E,は一直線
AF＝ｍAE
AE＝a+b
AF=m(a+b)
AF= a+ｋ(２b－a）
AF=m(a+b)
式変形して
で
これは
係数が 等しいに持ち込んで
ｋ＝1/3
ナタメ ３等分点の一つ
平面上に
点P と 三角形ABCがあって
こんな 条件の時
点Pは どんな位置に あるか
ベクトルの差の式で
ABを 表現したら
こんなだから
上の 条件に 代入するでしょ
そしたら
こうなった
ベクトルの 向きと 大きさを考えると
こう
けっこう 悩むよ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
9002 大人のさび落とし ベクトル の 大きさ
ベクトル
和と差を
やってきたとこで
もう少し
問題を
正六角形ABCDEF があるときに
AB CD EF
を それぞれ
a,b,c ベクトルとすると
a+b+c
a-b+c
-a-b+c
は どんな大きさに 成るか
一辺の 大きさは 1
正六角形
a+b
a-b
の作図は
aの先端から ｂ 作る a+b
aの先端から -b 作る a-b
ベクトルは 平行移動できるのと
ベクトルは a-b
を a+(-b) とできる
そうすると
正六角形の時は
対辺が 平行で
長さが 同じだから
ぐるっと 一週する方向に
ベクトルを 考えると
AB+BC+ CD+ DE+ EF+ FA
= AC+CD+ DE+ EF+ FA
= AD+DE+ EF+ FA
=AD +DE+ EA
=AD+ DA
=AA
=0
始点に 戻って 零ベクトル
その時に
その 方向で
ベクトルを
ソレゾレ 取り出してくると
AB ベクトル ＝ － DE ベクトル
AB ベクトル＝aベクトル
DE ベクトル＝-aベクトル
正六角形だからさ
a,b,c, ベクトル が 与えられてるので
AB+BC+CD=AD=a+b+c
a+b+c=絶対値 AD ベクトル
ここからは
具体的に 図形の 問題で
正六角形の
これは なんていうんですか
対角線と言うか
直径と言うか
の長さだから
正六角形は
正三角形の 集まったもので
考えタラバ
いいんじゃないカニ
2
今度は
a-b+c
正六角形の
辺ABは a
辺BC は b
なのですが
ぐるっとベクトルを 考えるときに
辺EFが －bベクトルに 成ってるので
これを
aベクトル ABの 先端に 平行移動すれば
正六角形の
辺の 平行移動なので
-bの先端を Gとすれば
a+(-b)で a-b
ここに
cベクトルを
平行移動して
Gの先に 付けると
AAベクトル ＝ 零ベクトル
0
辺の式で
書けば こんな感じで
ここまで くれば
－a－b＋cは
丁度
DEは-a EFは－bになてるので
（-a）+ (-b) ＝DＦ
になるので
－a－b＋cはDF+c
この先端を Ｈとすれば
－a－b＋c＝DF+c＝ＤＨ
正三角形の
集まりで
考えれば
ＤＨは 2だね
＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠
一辺が1の 正方形 ABCD が あるとき
AB=a BC=b とすれば
次の 値は いくらか
ベクトルの時の 絶対値は
おおきさなので
図形の 問題に 切り替えて
a+bは 対角線
Aから Ｃ
一辺が 1の 正方形なのだから
√2
絶対値 a-bは
図形に切り替えると
Dから B に 引いた
対角線なのだから
場所が 違うだけで
おおきさは
さっきと同じく
√2
次はね
この 不等式の 意味は
知ってる？
～ は 差
大きいほうから
小さいほうを
引いたもの
具体的に 数値で見ると
-2と 5 が あったとしたら
絶対値を とると
両方とも
正の値で
2 と 5
その差 だから ３
って 考えるんだそうな
この場合は
次に 並んでる
不等式の 真ん中の 部分と
値が 同じになってしまう
一番 右は7で おおきいと
a,b,ベクトルが 平行でないとき
は
こんな感じ
a,b,ベクトルが 平行で
向きが 同じならば
右側が 等しくなり
a,b,ベクトルが 平行で
向きが 正反対ならば
左が 等しくなり
すべて 等号が 成り立つときは
a または b が 0の時
a,b,
が どれも 零ベクトルでなく
次の 条件が 成り立つとき
a,b,の なす角は 何度か
a-b の大きさは a の大きさの
何倍か
Oを どこかにとって
OA=a
OB=b
として
OA OB
を 二辺とす平行四辺形を 作図すると
OCが a+b になるので
条件式から
平行四辺形の 4辺と
OCの 長さが 全部 等しいのだから
三角形OAC と 三角形OBCは
共に 大きさの 等しい 正三角形
なのだから
なす角は 120度
ベクトルの 引き算は
引く方のベクトルの 先端に向かって
引かれる方の ベクトルの 先端から
ベクトルを 引くのだから
対角線 AB
になるから
ベクトルの絶対値は 大きさのことだから
図形の問題の
対角線ABの長さは
1：2：√3の 比から かんがえて
ADまでが √3/2a
求める
BA が 2倍のAD
BAは √3a
a の 何倍かなのだから
√3倍
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
09001 大人のさび落とし ベクトルの 和 と 差
ベクトルに関しまして
問題
四辺形 ABCD において
ABベクトル + CDベクトル
が
ADベクトル + CBベクトルに
等しいことを
証明しなさい
いきなりは
そんな ねー
乱暴じゃないですか
そこで
われわれは さび落としですため
え
高校生が 化けて 入ってる
まちがってたら
あとで 教えてね
ベクトルは 力と 方向
力の 量だけだと
スカラー と言って 実数で
表示
だからですね
スカラーがー
ッテいうつもりが
チカラーがー
で
ベクトルは
矢印とかで
表して
ベクトルの 大きさ
の時は
絶対値で
スカラ 量
ベクトルの おおきさが 等しいということは
向きが 同じで
おおきさ （ ベクトルの 長さ ） が 同じ
重なってたり
平行だったり
ということは
向きと 力が 同じならば
なんか 自由に 動かせそうな
イメージですね
零ベクトル
これって面白いんだけどね
0ベクトルは 点なので
方向は 考えられない
点って 実生活にも
そこかしこに ありますね
存在するけど
面積がない
逆ベクトル
おおきさが 同じで
向きが 正反対
ベクトルの和は
平行四辺形法 三角形法
ベクトルの 差も
平行四辺形法 三角形法
これは よく出て来ます
平行四辺形法で
数式の 計算みたいな 方法
逆ベクトルを 使って
足し算しちゃう
あと
交換法則
結合法則
が 成り立ちます
で
問題に 戻って
平行四辺形法で
ベクトルを 動かして
足し算すると
ベクトルの 相等と言うのは
平行で 大きさ （長さ ） が等しいのだから
作図した 赤い部分は
平行四辺形に するための 作図なので
CD ベクトルは
BE ベクトルと等しくなるので
AB BE
で
三角形法の 足し算で
AE
右辺も
平行四辺形に なる様に
作図してあるのだから
CBベクトル と DEベクトルが 等しく
AD + DE
＝AE
同じ問題を
三角形法で 証明すると
ここら辺は
数学的な 感 ですか
BD とか DB に 着目 するんだって
で
三角形の 足し算を
AB CD 共に
BD とか DB を 入れて
計算するでしょ
で
ABベクトル + CDベクトルを
計算してくと
DDベクトル
これは 零ベクトルに なるから
右辺に 成ったよ
三角形法の時は
アバ みたいに なってる
ABBA
BBが くっついて 消えて
AAになって
AAは 零ベクトル
これを 踏まえると
こんな感じで
数が ふえても 同じ
二点 A,B に対する
P点は どんな 位置か
式変形して
逆ベクトルと マイナスで ねー
おおきさが （ 距離が 同じ ）
スカラ 量が 同じなんだからさ
コンパスで
点々点
平行でないと いけないから
重なってるとこで
ここだ
次は
４辺形ABCD があるときに
０から
各頂点への ベクトルを
a,b,c,d,とする時に
こんな 関係に なるそうな
どんな 図形か
大体 この手の問題はさ
平行四辺形っぽいけど
どうして
ッテいわれて
思っちゃったんです
これは ダメでしょ
なので
ここは
対辺に 着目して
対辺を ベクトルの差を 使って
計算してみると
BA と CD で 考えるでしょ
三角形法の 差の 計算で
BA＝OA-OB
＝a-b
CD=OD-OC
= ｄ-ｃ
これを
関係式から
ｃ のとこを
使ってみてですね
代入したら
ん
ベクトルが 等しくなった
ベクトルが 等しいということは
スカラ量が 同じで
平行
平行四辺形
お疲れ様です。
家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2019年02月07日
06029 大人のさび落とし 対数方程式 対数不等式 と 図形。
大人のさび落とし
対数の問題
対数方程式 対数不等式 と 図形
対数方程式があるんですよ
これがさ
どんな 図形になるかという問題です
グラフ みたいに なるんですが
その前に
対数の グラフが どんな風に
なってるか 確かめてみますと
底の 値が ０＜底＜1 １＜底
の時で
グラフの 筋道が違うので
ロガリズムの 底 と 真数 の値が
同じ時は
＝ １ これは ｙ の値
グラフの ｙ＝１になる 位置が
違うでしょ
それと
真数が １になるとき
場所は 同じですが
これらを
通る
グラフを 作図すると
底の 値の 違いで
単調増加 と 単調減少 になると
問題に 行く前に
気持ちを 整理してじゃナイスカ
で こんな問題でしたよ
題意から
隠れた 条件を ピックアップするでしょ
条件だけ まとめて
問題を 見ると 与式の
対数の 底が 異なってますので
ｘ に 底を 揃えて
ここで
（ えっくす 底 わい ）＝ｔ
とおくと
左辺に 集めて 通分して
こんな感じで
分母の ｔ を 払いたいけど
ｔ＝０ でないことを 確かめて
指数 対数 の 関係から
対数は ある 指数に 対して
一つだけ 決まるので
ｔ＝２のとき
ｔ＝－１の時
これらを
条件に あった 範囲で
図と言うか グラフにすると
第一象限に
こんな感じで
今度は
対数不等式
今の 要領で
途中まで
やっていって
領域を 示せば いいのだけれど
まず
題意より
二つの 底の違う 対数
底 と 真数 が
入れ替わってる パターンですが
底 条件
真数 条件
ここで
底を ｘ に 揃えて
底 と 真数（しんすう） が
同じ時は ＝１ になるから
ここで
（えっくす 底 わい）＝ｔ と置いて
分数不等式
ｔが ＝０ でない
を 確認して
ｔ＝０ ならば
指数 対数 の関係から
ｔ＝０ ならば ｙ＝１になるけど
ｘ、ｙ、は 真数条件でも
あるけど
底条件でも あるので
ｙは１ではない
したがって
ｔは０ではない
分数不等式の時の かたちに
変形して
さらに 因数分解して
不等式の 範囲を
数直線を 使って 表すと
こんなですか
で
これでは まだ 答えじゃなくて
ですよ
ｔ＝ （Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）
これがさ
➀（Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）＜０
② 2 ＜ （Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）＜ ３
底の 場合分けが
ややこしい
そこで
グラフは 単調増加に なる
底 ＝ １０ の
常用対数 に 低変換する
じゃナイスカ
➀’ は こんなで
②’ は こんなですよ
➀’より
（Ｌｏｇ 10 Ｘ ）のグラフは
底が １＜底（１０） なので
単調増加のグラフ
ｙ＝０ の時は ｘ＝ １
なのだけれど
題意から ｘ、ｙ、は １ではないので
分母のＬｏｇ 10 Ｘは ０ではない
０＜ｘ＜１ のとき
Ｌｏｇ 10 Ｘ のグラフは
単調増加のグラフで
この区間では Ｙ＜０
そして １ ヲ 超えると
Ｙ＞０
分母が 条件から
０ でないことを 確認して
分数不等式の ときの 形に
変形して
（Ｌｏｇ 10 Ｘ）（Ｌｏｇ 10 Ｙ）＜０
掛け合わせたのもが マイナスで
０＜ｘ＜１ の区間では
（Ｌｏｇ 10 Ｘ）＜０
ならば
（Ｌｏｇ 10 Ｙ）＞０
ｘ軸で
Ｌｏｇ 10 Ｙ の Ｙ＝１ より大きい時
１＜ｘ の時は
Ｌｏｇ 10 Ｘ・Ｌｏｇ 10 Ｙ＜０
になるのは
Ｌｏｇ 10 Ｘ＞０ になるのだから
Ｌｏｇ 10 Ｙ ＜０
➀’ より の 範囲を
まとめると こんな感じ
②’より
この 分数不等式を
Ｌｏｇ 10 Ｘ・・・１＜ｘの時は 正
分母を 払っても 不等号の向きは 同じ
対数は 底１０ 単調増加だから
対数を 取っ払っても
大小関係は 変わらず
ここに プラスして
題意よりの 条件
Ｌｏｇ 10 Ｘ・・・0＜ｘ＜１ の時は 負
分母を 取っ払うと
不等号の向きが変わって
②’ よりの 範囲を まとめて
➀’ ②’ の 全ての
存在範囲を しめすと
赤の斜線の範囲で
境界線は 含まれない。
お疲れ様です。
arge;">家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2019年02月01日
05022 大人のさび落とし 条件式つき 判別式の利用。
05022
大人のさび落とし
条件式つき 最大 最小
判別式を 使うとき
前回までは
条件式から
一文字 消去とかで
やっていけたのですが
ここからは
ただそれだけでは
うんまく行かない
今回は ｘ + ｙ の最大値
最小値 を 求めよで
条件式が ２元２次方程式
与式に 条件式を
単に代入しようとすると
√の入った
（ｂ/a aは0でない
a,b,は 整数 の形に
ならないもの ）
無理関数になってしまい
最大 最小を 求められない
そこで
与式の ｘ＋ｙ ＝ｋ と置いて
ｙ＝ ｋ－ｘ
として
逆に 条件式に代入すると
ｋを 係数に 持った
ｘの２次関数
の
方程式
これが
最大 最小 を持つためには
まずは
実数の範囲でないと
いけないので
判別式が ＞＝０
はんべつしき
マイナスが かかって
符号の 向きが 変わって
与式の ｘ + ｙ ＝ ｋ
の ｋの範囲が
-√5 ＜＝ ｋ ＜＝ √5
その時の ｘ、ｙ、 を 求めるに
条件式から
の 変形が
実数の２乗は ０ 以上を
使って
右辺の ｘが 不等式
これを解くと
ｘ の 範囲が出て来て
－２＜＝ ｘ ＜＝ 2
一つ 前の
（ｋを 係数に持つ）
ｘの ２次方程式に
ｋの 最小値 最大値を
代入していくと
-√5 ＝ ｋ 最小値の時の
ｘは
ｘ＝ －４√5/5
これは ｘ の -2＜＝ ｘ ＜＝2
の範囲内
そのとき
ｙは
- √5
こんな感じで
最小値
ｋ＝ √5の時
ｘ の ２次方程式の 解は
ｘ＝４√5/5
その時の ｙ は
ｙ＝√5/5
まとめると
こんな感じに
次は
よく 試験とかに でそうですが
過去問だから
危ないカナ
ある 条件式が あって
そこに 使われている
ｘ、ｙ
ｘ+ｙ ｘｙ の とりうる範囲
問題を
言い換えれば
解と係数の関係が
こんなですから
ｘ、ｙ、 を 解に 持つ
ｔの２次関数が あって
その解 ｘ 、 ｙ、 が
次の条件式を
満たすとき
ｘ+ｙ ｘｙ の取りうる
範囲は
ここは
ｘ+ｙ ＝a
xy = b
と置いて
条件式を
aと bの式で 表すと
こんな感じになって
それとｘ、ｙ、を 解に持つ
ｔの二次関数が
実数解 を 持つためには
判別式をここで使って
この ２式から
aの 範囲を 調べてくと
0 ＜＝ a ＜＝ 4
この aは ｘ+ｙの事
ｂ＝ aの ２次関数になっていて
aが 制限変域があるので
最大 最小 を 求めるべく
標準形
下に 凸で 上に開いてる
頂点が 最小で
制限変域の 端と端
a=0 と a=４
を 調べると
ｂは
-49/8 ＜＝ ｂ ＜＝ 4
ｂは ｘｙ の事なので
答えは
こんな感じですか
次は
農家に 近い 学校の問題
条件式が ２本
に
与式が １本 の
計３本 式があって
変数は ｘ、ｙ、ｚ、
与式 ＝ｋ にして
この ｋの範囲を 調べるに
ちょっと こんな感じにして
➀＋③
➀-③
ｘ 、 ｙ、
が ｚの式になったから
これらを ②式に 代入して
計算してくと
計算の 行数を 省いて
これがさ
実数解を 持つ範囲なんだから
（ とりえる範囲 ）
こんな感じで
答えです
次は
本日の メインイベントの
ハズだったんですが
答えは あってるんだけど
何ンとなく
ねつ造
みたいに 見えるので
参考までに
職員室を ご活用ください
まことに 申し訳ありません。
まず 範囲を 求める
与式 ＝ ｋ ここまでは
いつもと同じです
さー
さー
ったって
わかんないからさ
ヒント
定数項を 消去せよ
いいんかなぁー
ｋ で ②式を 割ればさ
しかし
乱暴は いかんでしょ
Ｋが ０でないことを
確かめないと
おきて 違反
チェック １
ｋ で 割れたとして
➀－②で
ｋ を 取り込んで
いいんかなぁあ～
こんどは
これを
ｙ 二乗で 割りたいけど
ｙが ０だと 困るから
ｙは０でない
にして
またやってしまった
付が
だいじょかや
付が ついてますが
ｘ/ｙ＝ｔ と置いて
これが 実数解を 持つ条件は
判別式が ＞＝０ だから
ほんとに良いカナ
ｋ が ０だと困る
付１
ｙ＝０ の時は ｋ＝１
だから
ｙは０でないをしたから
ｋは１ではない
付１
ｙ＝０ の時は ｋ＝１
だから
ｙは０でないをしたから
ほんとに 良いカナ
スミマセン
ここんとこ
自信ないな
ナタメ
でたらめ は お叱りを
受けてしまいますので
ここは 参考までに
反則ですが
ねつ造っぽいな
とうとう お笑いに
なってしまった
スマヌー
ここで
お笑いで 前進すると
判別式から
ｋの 範囲が 出て来て
答えを 見たら
んん
これで 値は 良いんだけど
途中の 説明が
力不足で
出来てません
ｙ＝０の時は ｔ＝０
確かに そうなんですが
数学的 説明が
力不足で
今できない
解答には こうでてますが
ｙが ０でないとき
ｋが１でないとき
ｋの 最大 最小は
コレダって
答え だけなら
良いけど
説明が 怪しい
で
最大値 最小値 の時の
ｘ、ｙ、 を 求めると
連立２次方程式は
色々 パターンが あるですが
今回は
解と 係数の関係 の形
➀式を a,b,の形に
②式を a,b,の形に
最大値の時は
a=0
ｂ＝-1
の 組み合わせ だけなので
ｘ、ｙ、は
ｘ＝±１、ｙ＝∓プラス １
最小値の時は
➀式をa,b,で
②式をa,b,で
ｂ＝1/3
a= プラスマイナス ２√3/3
ｂ＝1/3
で
a＝ ２√3/3
の時
ｔ＝ √3/3
重解
ｘ＝ ｙ＝ √3/3
ｂ＝1/3
で a＝－２√3/3 の時
ｔ＝ －√3/3
重解
こんな感じで
まとめると
こうですが
力 不足で 申し訳ない
ちょっと 休むね
来週まで
お疲れ様です。
重ね重ね
申し訳ありません
今日は
わぁーさびぃー
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2019年01月29日
05021 大人のさび落とし 条件式つき 最大 ・ 最小 。
条件式つき
最大 ・ 最小
2変数の 数式があると
で
こんな 条件を 満たしています
と
条件式が ついてる ときに～
条件式が １つ 在ったら
⇒ 変数を 一つ 減らせ
条件式から
ｙを ｘ で 表して
ｙのとこを ｘ にしてしまうと
ｘの 2次式になるでしょ
ということで
ｘの 2次式ならば
標準形に すれば
頂点が 最大値 または 最小値になる
変形して
れいの 爆速 youtuber から
輸入したものですが
こんな感じで
このグラフは
上に凸で 下に開いている
最大値が 存在する
しかし
最小値は 無限大に なる
何か 見落としてるかな
条件式を 変形して
ｙ二乗は ｙが 実数なのだから
０以上
ということは
右辺は 0以上
この不等式を 解いて
条件式による 制限変域が
-1から 1
グラフの 頂点は 制限変域内
なのだから
ここが 最大値
ｘ＝2/3の時
13/6
ｙは 条件式に ｘ＝2/3を 代入して
プラスマイナス
6分の√10
最大値は これで良しとして
最小値は
制限変域の 端と端を 調べれば
ｘ＝－１のときー２
x＝1の時
P=2
なので
答えは
こんな感じに出ますが
縦軸は P 横軸は ｘ
ｙを ｘの式で表したので
こんなですか
次のものは
条件式から
変数を一つ減らして
ｘを ｙの式で 表して
ｘに代入し ｘを 消去で
ｙの2次関数
標準形にするでしょ
合言葉は
逆数 半分 掛けて 掛けて 引く
グラフの頂点が出ました
条件式に ｙ＝2/5 を 代入して
ｘは 1/5
縦軸が P 横軸が ｙ
ｘを ｙで表したので
こんな感じですか
次は
ｘ、ｙ、ｚ、
の入った 式の 最小値を
条件式から
求めるんですが
今まで 流に 考えれば
こんな感じでしょ
変数を 減らして
条件式 二つ から
変数を 二つ 減らして
どれかに 統一 する
しかし
等号で 3式 が つながってるので
あったじゃナイスカ
＝ｋ と おく
ｘ、ｙ、ｚ、
全部 ｋ で 表せて
これを ｘ、ｙ、ｚ、に代入すれば
ｋで 統一 された ２次関数
制限変域は 発生せず
実数全体が 範囲で
標準形にするでしょ
頂点が 最小値だから
ｋ＝－１のとき 最小値 １３で
ｘ、ｙ、ｚ、 は それぞれ
ｋ＝－１を代入すれば
ｘ＝０、ｙ＝２、Ｚ＝－３
ここまで
問題を 解いていたら
エネルギー ぎれっぽくなりました
と言うのは
脳みそは ブドウ糖しか 栄養にしないのですよ
贅沢で
ぶどう糖しか 食べない
糖尿病の人は
血糖値が 高いと いけないですが
正常な人は
ことに 受験生は
あらかじめ 血糖値を 少し 上げておかないと
途中で 脳みそが 燃料切れ になります
受験は 努力したとしても
それだけでは ダメで
努力は 大切なんですが
体調とか 運も 大切ですよ
話を 問題に 戻して
絶対値が 入ってるやつ
絶対値を 見ると
おじけづいちゃう 人も いるようですが
いいから いくんだ
条件式から
ｙを ｘの式で表して
ｙに代入して
ｘだけの ２次関数にすれば
後は
今まで通りの 絶対値 付
最大 最小
絶対値も 場合分けがあるんだけど
その前に
条件式からも 条件式の
成り立つ 範囲が
あるので
それを 踏まえて
Ｐ＝にして 最大 最小 を 求めていきますと
絶対値を ０以上で 外すときは
両方が
条件式 絶対値 の 双方が 有効なのは
0以上 ２以下
で
絶対値を０以上で はずした
２次式を だして
標準形にしてじゃナイスカ
このグラフは
上に凸 で 下に 開いていて
頂点が 分かって
制限変域内だから
最大値
その時の ｙは
Ｐに 最大値を ｘに 5/4を 代入すれば
プラスマイナス3/4
グラフ 縦軸が Ｐ 横軸が ｘ
ｙを ｘで 表している
制限変域に 端と 端を 調べるでしょ
こんな感じですか
今度は
絶対値を ０未満で外すとき
条件式の変域と 絶対値の 範囲が
双方とも 有効なのは
-1以上 0未満
その時の Ｐのグラフは
絶対値を ０未満で 外すと
こんなで
これを
標準形に
標準形にしていくと
頂点が出てきて
グラフは こんな感じですか
この全体から
最大 最小を 持ってくると
こんな感じで
次行ってみましょう
条件が
いろいろ ありますが
いつもの要領で
条件式から
ｘを ｙ で 表して
与式の
ｘに 代入すれば
ｙの ２次関数
これを ＝Ｐ とでも置いて
Ｐは 計算してくと
こんな感じですか
標準形に するでしょ
最大にする ｘ、ｙ、」を 求めよ
で aで 表せ
なのだから
これで
いいんかな
まだ 条件使ってないのがあるよ
（んん）
a＞０
ｘ、ｙ、は ０以上
０より おおきく 1以下と
１より大きい で
aの値を 分けると
ｙが ０以上を満たすのは
この範囲のa では a＝１の時
その時の
ｙ＝０
その時の ｘは 条件式に
ｙを 代入して
こんな感じですか
aが １より 大きいときは
ｙが （a-1）/ 6
で
その時の ｘは
（a+1)/4
まとめると こんな感じで
次は
ｍが 実数の時
条件式 ２式から
ｘ二乗 + ｙ二乗 が 最大になる
ときの
ｍの値を 求めよ
ｘ、ｙ、を ｍであらわせれば
ｍの ２次関数になる
そこで
②式 － ➀式
ｙを ｘとｍ で 表して
➀式に ｙを 代入すると
ｘを ｍ で 表せるであろうと
数学では
０で 割っては いけない決まりがあるので
ｘ＝にしたときの 分母に入るものを
平方完成すると
常に 正なので ok
ｙ＝ ｘとｍ の式に
ｘ＝ｍの式を 代入したら
ｙ＝ｍの式
ｘ＝ｍのしき ｙ＝ｍの式
これらを ｘ、ｙ、に
代入してですよ
分母が同じだから
分子の 計算で
こんな感じに 簡単になって
分子は 定数
分母を 標準形に すると
分母の 値が 小さいほうが
全体で おおきいのだから
分母の 最小値が
最大値で
その時の ｍの値は -1
おつかれさまです。
家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2019年01月26日
05020 大人のさび落とし 05019は 宿題です。追記あり（ お詫び）
大人のさび落とし 05020
05019は 解決しない問題があるため
宿題です
ダメかもしれない
２次関数の 最大・最小の問題で
変数が2変数
ｘ、ｙ、
共に ２次関数になってる
数式の 最大・ 最小
に関して
式の最小値と その時の ｘ、ｙ、の値を求めなさい
こんな感じの問題ですが
2変数の時は
ｘの2次関数 ｙは定数として
考えて
標準形
標準形にすれば 2次関数のグラフの 頂点が
最小値 または
最大値 になってくるので
で
標準形の変形は 当てはめてけばいいのだけれど
爆速で
パターン 計算
これを使ってじゃナイスカ
2次の 係数の逆数
1次の係数を 半分に
それらを 掛けて
（ 1次の係数の逆数 × 半分 ）＝ こたえ
掛けて
（ 半分 × こたえ）＝ 答え
引く
与式の定数項 － 答え ＝ しっぽ
で
全体を ｚ として
ｘの2次関数にしたのですが
しっぽの 定数項
が
ｙの2次関数に
なってるので
ここも
標準形に
実数の二乗は 0以上 と言う
おきてを 使って
かっこの 2乗は
０以上で マイナスには ならないので
（ 実数の範囲 ）
②の式からは
ｙ＝1の時が ０で 一番小さい
これを
➀に代入すれが
ｘ＝０の時が
（ ）の二乗が ０ で 一番小さい
その時
最小値は
１
同じ問題で
さっきは
ｘの 二次関数で 考えて
頂点と ｙ座標 の
関係から
ｘ、ｙ、 を だしたのですが
全体を ｚと置いて
標準形に するまでは 同じ
ここで
ｚを 定数項に 移行して
方程式ににして
ｘの2次方程式
ｘ、ｙ、が 実数で
あるから
実数解を 持つ 条件を
判別すると
判別式が ０以上
判別式を 計算するでしょ
これがさ
０以上出ないといけない
そうしたら
ｚは こんな不等式になったよ
不等式の右辺を 標準形にして
実数解で
最小の時は
ｙ＝１の時 ｚ＝１
ｙ＝１を 与式に 代入したら
その時の ｘは ０になったので
ｘ＝０ 、ｙ＝１、のとき
最小値１
類題ですが
これは 展開しても
おなじことなんですが
そうするまもなく
（かっこ）二乗
これを 見たら しめたと思って
全体で
最小値は ２
その時の ｙの値は １で
ｙが １ならば ｘは １
計算問題に 出てたら
ラッキーですよ。
あ～ ちょっといいですか
最近は どんなものか 見てないので
youtubeとか見る限りでは
偉く 昔と違うナ
わたくしの様なものが
幾分でも
役に立ってれば
幸いですが
数学 くらぶ
くらいカナ
中級編
人によっては こんなの
初級だかもしれないですが
馬鹿にされようが
兎も角
反復練習して
条件反射 てきに できるように
なったならば
もう 馬鹿にはされませんよ
チョットイイデスカ
過去問ではあるものの
ほとんど
大学の入試問題なので
難しいです
問題は
解答してるのが わたしなので
数学的な 理解力であるところが
そういった面では
私が 中級 や 初級のとこがあるのです
それと
問題自体は
良問が 並んでいるのですが
過去問なので
いまの 傾向と 違うとこがあったり
また 新課程には
対応していないのです
数学を 本気で
できるように 成るには
いまの 単元と 重なっているところは
十分すぎるくらいに
良いものなのですが
解説者の わたしが
そんなに 力が ないので
そこのところを
お間違いなく
今の 単元と 一致してるとこは
十分すぎるくらいに よくできた
幻 の 名著です
（ 矢野健太郎さんの本）
なんだっけ
あ
類題です
まず
2変数 ｘ、ｙ、があって
ｘ、ｙ、の2次関数なので
ｘの2次関数、ｙは定数とみて
標準形
爆速パターン化計算
整理して
ちゃんと 武器で 使ってね
分かるかや
もう一回
こんな感じで
（かっこの）二乗は 0以上
そこんとこ
連立を よろしくで
こんなですか
問題によっては
一回も やってないと
わかんない
しかし
一回やってあれば
あ～ あれだな
家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2019年01月08日
05018 大人のさび落とし 制限変域による 最大 最小。
メモリーの関係で
こちらに 増設していきます
やり残し さび落とし 05018
二次関数の場合
条件が （ 制限域が なくても ）
無くても 最大か 最小は
グラフの 形状上
どちらか あるのですが
制限域があれば
最大値 最小値が 出て来ます
と言うもので
グラフの 形状を 調べるのに
一般形から ｙ切片
標準形から
グラフの頂点を 調べるに
いつもだと
こんなだったんですよ
それがさ
ある人の youtube を見たら
あ～ これは
取り入れないと 遅れを とってしまう
がありましたため
これですが
逆数 半分 かけて かけて ひく
そうすると
パターン化した 計算で
爆速になる
後ろに リンクを 張っておきますが
youbute ですので
多くの人に 見てもらった方が
広告料はいるから
ね～
内は やってないけど
ややこしいけど
２、３、問やって
慣れてしまうと
圧倒的に この方が早い
で
グラフの 頂点が出たと
形状は 下に 凸で 上に 開いている
ｘ軸との交点は 0 と 4
ｘの制限変域は
-1以上 ４以下 なので
グラフの 頂点が 入っている
ナタメ
最小値は 頂点の座標
ｘ＝5/2 で 最小値 -9/4
最大値は
制限変域の 端と 端 を 調べて
x＝－１の時 最大値 10
次は
４次関数だって
入試の時は
２次試験だっならば
数１ の範囲で 行くか
数２の範囲で行くか
ここは 数Ⅰなので
題意にあるように
ｘ の ４次関数を
ｔに置き換えて
ｔの２次関数にすると
括弧の中を ｔ にするでしょ
ｔの ２次関数になって
ここで
変数が ｘ から ｔ に代わったので
ｘ は 実数全体なのだけれど
ｔ＝ 何鱈 X事情 プラス X
は
様子が 変わってくる かもしれない
整理して
で
今度は ｔの とりうる値の範囲を
見ていくと
ｔ＝ ｘの式で
ｘは 実数全体が 範囲だけれども
２次関数の 形状をしていて
上に開いているため
最小値が 存在する
ｘ＝－２で
ｔは 最小値 －４
戻って
元の式を
ｘをｔに 置き換えたものは
最小値が
ｔ＝－５ の時 －５なのだけれど
一様 グラフの 概形を
見ていきますと
こんな感じに なるけど
ｔ の取りうる 最小値が -4なので
元の 式の
ｘを ｔに置き換えたものに
ｔの取りうる 最小値を 代入したら
ｙ＝－４が 最小値
今度は 類題で
ｘの 制限変域 が
0以上 ２以下の時
やっぱりですよ
今までは
こうやって
標準形に してたんだけど
パターン化 した 計算システムで
逆数 半分 掛けて 掛けて 引く
符号は
三角と 四角の 中身を
そのまま
速すぎるよね
使わないと 損
大損
後は 制限変域の 隅々を 見て
最大と 最小
今度は 絶対値
制限変域と
絶対値を ０以上で外すときと
０未満で 外すとき
０以上で 外すときから
こんな感じで
グラフにすれば
こうですか
０未満で 外すならば
標準形の計算
この方が 速いでしょ
使わないと
遅れを取りますよ
すでに
やり始めてる人が 大勢います
制限変域の 隅を調べて
グラフにして
重ねると
最大 最小
が でてきたと
次は
難しそうなんだけど
一回 例題で
やってますため
類題だからさ
４次関数を ｔ＝ｘの２次関数で
置き換えて
同じのが
隠れてるでしょ
ｘの ４次式から
ｔの ２次式になって
パターン化 標準形（ 平方完成）
で
逆数 半分 掛けて 掛けて 引く
この ｔの２次関数は
最小値が ある形
しかし
変数を ｘから ｔにしたので
ｘ が 実数全体でも
ｔは ２次関数なので
ｔの取りえる範囲には
下 限界が ある
元の 式を ｘ から ｔ に
したものは
ｔ＝－13/2 が 最小なんだけど
ｔは －25/4 以上なので
ｔ＝－6.5 ← 元の式では
の時 最小なのですが
ｔの取りえる 範囲が
ｔ＝-6.25
以上で
それ以下に 成らないため
ｔ＝－6.25 （ -25/4 ）
を 代入したら
最小値は
ー51/16
お疲れ様です。
ここにさぁー いろいろ 技が出てますよ
使えるものを 増やした方がいい
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2018年06月29日
08003 大人のさび落とし 分点座標(1)
分点座標
三角形の 頂点と
その 対辺の中点を 結んだ線分を
２：１に 内分 する点は
すべて 一致 することを 示せ
頂点が ３つ
その対辺が ３つ
ソレゾレ
頂点と 対辺の中点を 結んだ線分のを
２：１に ない分する点
これが 一致する
ことを いうわけなので
ですが・・・・
その前に
内分と 外分 は 公式があるので
見ておきますと
Aから Bに ｍ：ｎに 内分 する時
外分する時
具体的な 数値を使って
内分 は こんな感じ
外分は こんな感じ
これらを 踏まえまして
問題を 見ていくと
まず
それぞれの 頂点の対辺 の 中点は
L、M、N、
中点は １：１に 内分したものでしょ
中点が L、M、N、と三つ
それぞれの 頂点と 対辺の中点を
結んだ 線分を ２：１に 内分すると
ALは これ
BMは
これ
つぎに
CNは これ
いずれも
３分のｘ１+ｘ２+ｘ３ と
３分のｙ１+ｙ２+ｙ３
で
一致することが 分かり
これは
三角形の重心であるので
三角形の重心は
各頂角の２等分線の 交わり
とか
頂角と 対辺の中点を 結んだ 線分を
２：１に 内分する点
では
具体的に 数値の 計算を
ABを ２：１に 内分すると
（ｂ、３） なのだから
公式に 入れて
x座標 ｙ座標
見てきますと
こんな感じで
つぎは
A、 B、を 結んだ線分を
Bを超えて Lだけ 延長した点を Dとすると
Dの座標を 求めなさいと
A,B,は 数値が 出てるので
ピタゴラスの定理で
２点間の距離を出して
図を 書くでしょ
題意を言い方を 変えると
A,B,を （５+L):Lに 外分する点Dを求めなさい
外分は 内分の公式で
ｎを -ｎに 置き換えて
後は 計算してみるとこんな感じで
次は
んん
昔むかし a long ago とか
long long ago と言うやつですが
これは ベクトルじゃんか
そういえばって
やったろ
いいえ やってないですよ
やったって
忘れたんか！
いやー
やってないですよ
ほー こうやってさ
やったやないか
ここから
どうなった
えーと
あ
めんごめんご
やってないな
まだやってなかった
やったて
いわんかったっけ？
いてないですよ
兎も角
ここはさ
ベクトルでしょ
まだやってない
ここでは
やばいなぁー を 感じながら
進路が ぶれてるんですが
気を取り直し
（ ベクトルは ひじょうに 大切だそうで ）
あのさ
公式が あったじゃナイスカね
ちょっと 感じが 似てるとこあるから
見てくでしょ
分子が
こんな感じの時の
分母を
逆に 起して来たら
計算すると １になる
これだ
三角形ABCがあって
BC、CA,の中点が
L、M、
座標が 分かってるのは
A, M、 と 重心G
三角形の重心は 頂点とその対辺を結んだ
線分を ２：１に 内分するたんだから
そこに 公式を あてはめて
分かってるとこを 数値を
入れてくと
Bは（２、０）
Lは （5、１）
こんな感じで
三角形ABCと
辺BC、CA、AB、を ｍ：ｎに 内分する点
D、E、F、
で できた三角形DEFの 重心が
一致することを
しめせ。
三角形ABCの重心は
３分のこれこれ
三角形DEFの D、E、F、 の 座標を 計算するじゃナイスカ
D
E、 F、
D、 E、 F、
の座標が 出そろたところで
重心を 計算すると
ｘ座標は
３分の これこれ
同様に
ｙざひょは
３分の これこれ
おんなじだね
お疲れ様です。
メニュウ ページ リターン ）
2018年04月12日
08002 大人のさび落とし 中点座標
中点の 座標です
三角形があって
各 頂点の 座標は 分かってないのだけれども
それぞれの
中点の座標が
分かってると
行ってみましょう
図にするとこんな感じで
なので
それぞれの 頂点の 座標を
（ｘ1、ｙ1）（ｘ2、ｙ2）（ｘ3、ｙ3）
のように おいてですよ
まずは
ｘ座標に 関して じゃないですかね
中点が
出てるんだから
公式に 入れて
で
連立方程式の形で
３本
➀-② と
④＋③ で
ｘ1 と ｘ2 だけの式にして
足し合わせると
ｘ2が 11
ｘ1が 3
どっちかを使えば
ｘ2を 使って
➀式から
ｘ3が -1
3,11、-1
と出て来たので
今度は
ｙ座標に 関して
さっきみたいに
中点が 分かってるんだから
公式に 入れてって
連立 方程式が ３本
➀－②
と
③+④
で
ｙ1 と ｙ2 だけの式にして
足し合わせると
ｙ2が 10
ｙ1が -2
どっちかを 使って
ｙ2を ③に 入れてば
ｙ3が 6
出そろったので
整理して
A( 3、-2） B（11,10） C（-1、６）
なんかですね
風変わりな 点があるんだけど
これと 原点を 結んだ 線分の中点がですね
直線ｙ＝ｘ+1/2 上に あるんだって
aの 値を 求めなさい
何だけどさ aは ０では ないよ
数学では
ただし と言います
お世話になってる かたも ただしさん ナタメ
ひやひや しながら 問題を やってます
なんかさ
図を 書いてみると
イメージがわくでしょ
まず 中点を 求めてですよ
原点との 中点だから
楽勝ですよね
公式に 入れて
ね ２分の にするだけだからさ
で
この点が
直線上にも あるわけで
中点の 座標は 文字を含んでて
文字は 含んでるけど ぴしゃりと出てる
これを 直線の方程式に 代入すると
ｘも ｙも 点を代入すると
直線上の点なんだから
シッカリ ＝ に なるはず
ということは
整理して
解くと
０ または １
問題文では
数学では よく 題意より と書くようですが
aは ０ではないものっとするので
a＝１
始めの イメージ図を
少し 正確に すると
こんな感じになるのかな
４点があるんですよ
で
なんだ
A,P,Q,R,
と
４点があって
それに 順番に ていうか
AのPに対する 対称点をB
BのQに対する 対称点をC
CのRに対する 対称点を Dとするとき
Dの座標を 求めよ
Dが Aと 一致するとき
a,b,の値を 求めよ
兎に角
順番に Dを目指して
中点の 公式に 順次 代入してくじゃナイスカ
文字を 含んでいても そのまま
代入して
進んでくと
Bデショ
今度は Cデショ
順次 ｘ、ｙ、の 添え字を
つけながら
わらしべ 長者みたいな 計算をしてくと
わらしべは 最後は 何になってでしょうじゃなくてですね
Cから
今度は
最終目的地 Dに
で
デー
ですね
これが
Aと 一致するんだから
a=1,b=5
今度は
第四の 頂点を 求めよ
ひし形編
ひし形のので
特種な 平行四辺形
対角線が 直交してて
だから
対角線の 中点が 一致する
値のわかってる 方の対角線を
使って
中点を 出しておけば
おけば だからさ
おばけ じゃないか～らさ
何だけど
出るじゃナイスカ
出たでしょ
・・・おけば
今度は
今から ５０年以上前の
東京の有名なとこの 問題
海じゃないよ
４点が あるんだけど
その間に
同じ平面上に
ややこしいんだけど
P1～P4の 中点を取るんだけどさ
いきなりは
図にで来そうに ないから
計算してくんですが
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P3(x3,y3)
P4(x4,y4)
として
題意どうりに
中点を 計算してくじゃナイスカ
順次 ｘ座標 ｙ座標 共に
ｘ の ｙ の 関係式が 出てくるでしょ
ね
（ しょうへー！！！）
４本目
( しょうへー！！！）
ｘと ｙと ともどもに
４連立方程式
これを 解けばさ
P1～P4まで
４中点の 座標が でるわけで
そこまでは よさそうだから
先を 考えつつ
計算を してって
順次
出てくるですよ
イマハ ｘ座標分を 計算中ですよ
これで
ｘ座標分は 全部だから
整理して
今度は
ｙ座標成分も
順次
出てくるでしょ
ね
これで
いいかな
もー一個
出そろったから
整理して
ここまでは いいのですが
この出てきた
P1P2P3P4
の 四辺形の面積を 求めよ
あのですね
正直に 言いますが
めんどうだなぁー
やめよう
と 思って
一様 回答を 見たら
んん？？？
えらい 簡単だな
しまっただなぁー
あることに 気が付くと
算数で
面積が出てしまう
しかも 正確に
こんな感じで
私は
もっと 難しく 考えてしまったので
答えが さー
簡単に 正確だから
悔しくて
無理やり だして 見ました
電卓まで使って
余弦定理で
平方の公式で
しかし
誤差が 入ってしまう
不正かいなのでした。
実験とかではないのだけどさ
ピッシャリ 答えが 出るときは 良いけど
理科系では
答えが 思うように でないとき
そこで
悩んで 何かすると
あきまへん
お疲れ様です
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
