2019年01月29日
05021 大人のさび落とし 条件式つき 最大 ・ 最小 。
条件式つき
最大 ・ 最小
2変数の 数式があると
で
こんな 条件を 満たしています
と
条件式が ついてる ときに～
条件式が １つ 在ったら
⇒ 変数を 一つ 減らせ
条件式から
ｙを ｘ で 表して
ｙのとこを ｘ にしてしまうと
ｘの 2次式になるでしょ
ということで
ｘの 2次式ならば
標準形に すれば
頂点が 最大値 または 最小値になる
変形して
れいの 爆速 youtuber から
輸入したものですが
こんな感じで
このグラフは
上に凸で 下に開いている
最大値が 存在する
しかし
最小値は 無限大に なる
何か 見落としてるかな
条件式を 変形して
ｙ二乗は ｙが 実数なのだから
０以上
ということは
右辺は 0以上
この不等式を 解いて
条件式による 制限変域が
-1から 1
グラフの 頂点は 制限変域内
なのだから
ここが 最大値
ｘ＝2/3の時
13/6
ｙは 条件式に ｘ＝2/3を 代入して
プラスマイナス
6分の√10
最大値は これで良しとして
最小値は
制限変域の 端と端を 調べれば
ｘ＝－１のときー２
x＝1の時
P=2
なので
答えは
こんな感じに出ますが
縦軸は P 横軸は ｘ
ｙを ｘの式で表したので
こんなですか
次のものは
条件式から
変数を一つ減らして
ｘを ｙの式で 表して
ｘに代入し ｘを 消去で
ｙの2次関数
標準形にするでしょ
合言葉は
逆数 半分 掛けて 掛けて 引く
グラフの頂点が出ました
条件式に ｙ＝2/5 を 代入して
ｘは 1/5
縦軸が P 横軸が ｙ
ｘを ｙで表したので
こんな感じですか
次は
ｘ、ｙ、ｚ、
の入った 式の 最小値を
条件式から
求めるんですが
今まで 流に 考えれば
こんな感じでしょ
変数を 減らして
条件式 二つ から
変数を 二つ 減らして
どれかに 統一 する
しかし
等号で 3式 が つながってるので
あったじゃナイスカ
＝ｋ と おく
ｘ、ｙ、ｚ、
全部 ｋ で 表せて
これを ｘ、ｙ、ｚ、に代入すれば
ｋで 統一 された ２次関数
制限変域は 発生せず
実数全体が 範囲で
標準形にするでしょ
頂点が 最小値だから
ｋ＝－１のとき 最小値 １３で
ｘ、ｙ、ｚ、 は それぞれ
ｋ＝－１を代入すれば
ｘ＝０、ｙ＝２、Ｚ＝－３
ここまで
問題を 解いていたら
エネルギー ぎれっぽくなりました
と言うのは
脳みそは ブドウ糖しか 栄養にしないのですよ
贅沢で
ぶどう糖しか 食べない
糖尿病の人は
血糖値が 高いと いけないですが
正常な人は
ことに 受験生は
あらかじめ 血糖値を 少し 上げておかないと
途中で 脳みそが 燃料切れ になります
受験は 努力したとしても
それだけでは ダメで
努力は 大切なんですが
体調とか 運も 大切ですよ
話を 問題に 戻して
絶対値が 入ってるやつ
絶対値を 見ると
おじけづいちゃう 人も いるようですが
いいから いくんだ
条件式から
ｙを ｘの式で表して
ｙに代入して
ｘだけの ２次関数にすれば
後は
今まで通りの 絶対値 付
最大 最小
絶対値も 場合分けがあるんだけど
その前に
条件式からも 条件式の
成り立つ 範囲が
あるので
それを 踏まえて
Ｐ＝にして 最大 最小 を 求めていきますと
絶対値を ０以上で 外すときは
両方が
条件式 絶対値 の 双方が 有効なのは
0以上 ２以下
で
絶対値を０以上で はずした
２次式を だして
標準形にしてじゃナイスカ
このグラフは
上に凸 で 下に 開いていて
頂点が 分かって
制限変域内だから
最大値
その時の ｙは
Ｐに 最大値を ｘに 5/4を 代入すれば
プラスマイナス3/4
グラフ 縦軸が Ｐ 横軸が ｘ
ｙを ｘで 表している
制限変域に 端と 端を 調べるでしょ
こんな感じですか
今度は
絶対値を ０未満で外すとき
条件式の変域と 絶対値の 範囲が
双方とも 有効なのは
-1以上 0未満
その時の Ｐのグラフは
絶対値を ０未満で 外すと
こんなで
これを
標準形に
標準形にしていくと
頂点が出てきて
グラフは こんな感じですか
この全体から
最大 最小を 持ってくると
こんな感じで
次行ってみましょう
条件が
いろいろ ありますが
いつもの要領で
条件式から
ｘを ｙ で 表して
与式の
ｘに 代入すれば
ｙの ２次関数
これを ＝Ｐ とでも置いて
Ｐは 計算してくと
こんな感じですか
標準形に するでしょ
最大にする ｘ、ｙ、」を 求めよ
で aで 表せ
なのだから
これで
いいんかな
まだ 条件使ってないのがあるよ
（んん）
a＞０
ｘ、ｙ、は ０以上
０より おおきく 1以下と
１より大きい で
aの値を 分けると
ｙが ０以上を満たすのは
この範囲のa では a＝１の時
その時の
ｙ＝０
その時の ｘは 条件式に
ｙを 代入して
こんな感じですか
aが １より 大きいときは
ｙが （a-1）/ 6
で
その時の ｘは
（a+1)/4
まとめると こんな感じで
次は
ｍが 実数の時
条件式 ２式から
ｘ二乗 + ｙ二乗 が 最大になる
ときの
ｍの値を 求めよ
ｘ、ｙ、を ｍであらわせれば
ｍの ２次関数になる
そこで
②式 － ➀式
ｙを ｘとｍ で 表して
➀式に ｙを 代入すると
ｘを ｍ で 表せるであろうと
数学では
０で 割っては いけない決まりがあるので
ｘ＝にしたときの 分母に入るものを
平方完成すると
常に 正なので ok
ｙ＝ ｘとｍ の式に
ｘ＝ｍの式を 代入したら
ｙ＝ｍの式
ｘ＝ｍのしき ｙ＝ｍの式
これらを ｘ、ｙ、に
代入してですよ
分母が同じだから
分子の 計算で
こんな感じに 簡単になって
分子は 定数
分母を 標準形に すると
分母の 値が 小さいほうが
全体で おおきいのだから
分母の 最小値が
最大値で
その時の ｍの値は -1
おつかれさまです。
家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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