スローライフの森　数１　＆　自家菜園

ベクトルの実数倍

その前に

平面上のベクトルは

すべて

ｍ　aベクトル　+　ｎ　ｂベクトル

の形で　表現できる



一つ上に行くと

これが　３次元に　成ってくっる





ベクトルの　実数倍




平行　共線　条件





ベクトルの　実数計算





これがさ

出てくるんだけど







分点ベクトル

分子は　遠いほうを　掛ける形





外分の時は　ｎを　−ｎに変えて


分点ベクトルの公式に　入れる





右に　外分

左に　外分






ここが　ポイント

分点ベクトルで　考えて


式変形から

ベクトルは　こんな感じに　表せる






または　こんな形に

表せる





問題

４辺形　ABCD　において

辺AB　辺DC　を　２：３に

内分する点を　P,Q,

とする時

ADベクトル＝a

BCベクトル＝ｂを

用いて　PQベクトルを　a,b,

で　表せ




P は　ABを　２：３に内分する点なので

PA 　PB　は　同じ線分上で

２：３

のおおきさ






ベクトルの　向きを　考慮して

ｃベクトルとして　書くと

２ｃ　と　―３ｃ　になる






同様に

DQ=2d


CQ＝−３ｄ

（ｄベクトルを考えて　）



PQベクトルの

上側と　下側で

ベクトルを　足し合わせて

＝PQベクトルとして

連立方程式にして


ｃ、ｄ、　ベクトルを　消去すれば

a,b,で　PQを　表せる






時計回りと

反時計回りに

ベクトルを　それぞれたすでしょ





PQ=　が　二つ出てきたので

ソレゾレ　２倍　３倍して

足し合わせると






こんな感じで

出たよ






もう一つの　方法は

対角線
BDを　引いて


BDを　３：２にする点をRとすれば


三角形　ABD ,CDB

を　見る時

それぞれの　底辺と

PR　　　QR　が　平行なので

PR=3/5AD






QR=2/5BC






PQ=PR＋RQだから

答えは　さっきと同じ







４辺形

ABCD　に　おいて

AD、　BC、の中点を　M,N,　とする時

AB+DC=2MNを　証明しなさい







Mは　ADの　中点なのだから

A,M,D,は　一直線で

MA=ｃ　とすれば　MD=-ｃ

Nも　同様に

考えて

BN=ｄ　とすれば　CN＝−ｄ






AB=a, DC=ｂ, とすれば


反時計回りは

こんなんで





時計回りは

こ







これを　足し合わせると

なったじゃナイスカ







平面上のベクトル

OA、OB,OC,OD,OE,が

２OA+４OC=3(OB+OD)

２OA+OC=3OE

の時

４辺形は　どんな形か


平行四辺形！

なんで


そう思っちゃったんだけどさ

それは　ダメでしょ







４辺形は　BCDE　だから

こんな感じか

どっかに　O　がいてじゃナイスカ

条件式があるから







変形して

一つに　まとめてみたら









OE+OC=OB+OD


４辺形の　対辺に　着目すると






ベクトルの　差の　式が　あったでしょ


ベクトルから　ベクトルを　引くと

ベクトルの　向きが　こんなだからさ

BC=OC-OB

ED=OD-OE

の形に　成れば
　

対辺を　表現してることに　成るので

これは　平行四辺形だ






平行四辺形　ABCD　の　辺BCの中点を

Eとして

AE、BD、の　交点をFとすれば

Fは　BDの３等分点の一つである

ことを

ベクトルを　用いて　証明せよ











AB=a

BE=b

と置くでしょ


たしざんで　AE=a+b







BDの方は

AD-AB　で　表現できるので

２ｂ−a


一直線上に　BFD　があるので

BF=ｋBD

　　　BD=2ｂ−a

BF＝　ｋ　(２b−a）







AE と　BD　を　関連ずけるに


AF＝AB+BF

　＝a+BF

　　　BF=　ｋ(２b−a）

AF=　a+ｋ(２b−a）

A,F,E,は一直線

AF＝ｍAE

　　　AE＝a+b

AF=m(a+b)






AF=　a+ｋ(２b−a）

AF=m(a+b)

式変形して







で　　


これは


係数が　等しいに持ち込んで








ｋ＝1/3


ナタメ　　３等分点の一つ








平面上に

点P　と　三角形ABCがあって

こんな　条件の時

点Pは　どんな位置に　あるか








ベクトルの差の式で

ABを　表現したら

こんなだから

上の　条件に　代入するでしょ








そしたら

こうなった

ベクトルの　向きと　大きさを考えると


こう


けっこう　悩むよ








お疲れ様です。



（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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