2019年02月07日
06029 大人のさび落とし 対数方程式 対数不等式 と 図形。
大人のさび落とし
対数の問題
対数方程式 対数不等式 と 図形
対数方程式があるんですよ
これがさ
どんな 図形になるかという問題です
グラフ みたいに なるんですが
その前に
対数の グラフが どんな風に
なってるか 確かめてみますと
底の 値が ０＜底＜1 １＜底
の時で
グラフの 筋道が違うので
ロガリズムの 底 と 真数 の値が
同じ時は
＝ １ これは ｙ の値
グラフの ｙ＝１になる 位置が
違うでしょ
それと
真数が １になるとき
場所は 同じですが
これらを
通る
グラフを 作図すると
底の 値の 違いで
単調増加 と 単調減少 になると
問題に 行く前に
気持ちを 整理してじゃナイスカ
で こんな問題でしたよ
題意から
隠れた 条件を ピックアップするでしょ
条件だけ まとめて
問題を 見ると 与式の
対数の 底が 異なってますので
ｘ に 底を 揃えて
ここで
（ えっくす 底 わい ）＝ｔ
とおくと
左辺に 集めて 通分して
こんな感じで
分母の ｔ を 払いたいけど
ｔ＝０ でないことを 確かめて
指数 対数 の 関係から
対数は ある 指数に 対して
一つだけ 決まるので
ｔ＝２のとき
ｔ＝－１の時
これらを
条件に あった 範囲で
図と言うか グラフにすると
第一象限に
こんな感じで
今度は
対数不等式
今の 要領で
途中まで
やっていって
領域を 示せば いいのだけれど
まず
題意より
二つの 底の違う 対数
底 と 真数 が
入れ替わってる パターンですが
底 条件
真数 条件
ここで
底を ｘ に 揃えて
底 と 真数（しんすう） が
同じ時は ＝１ になるから
ここで
（えっくす 底 わい）＝ｔ と置いて
分数不等式
ｔが ＝０ でない
を 確認して
ｔ＝０ ならば
指数 対数 の関係から
ｔ＝０ ならば ｙ＝１になるけど
ｘ、ｙ、は 真数条件でも
あるけど
底条件でも あるので
ｙは１ではない
したがって
ｔは０ではない
分数不等式の時の かたちに
変形して
さらに 因数分解して
不等式の 範囲を
数直線を 使って 表すと
こんなですか
で
これでは まだ 答えじゃなくて
ですよ
ｔ＝ （Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）
これがさ
➀（Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）＜０
② 2 ＜ （Ｌｏｇ ｘ Ｙ ）＜ ３
底の 場合分けが
ややこしい
そこで
グラフは 単調増加に なる
底 ＝ １０ の
常用対数 に 低変換する
じゃナイスカ
➀’ は こんなで
②’ は こんなですよ
➀’より
（Ｌｏｇ 10 Ｘ ）のグラフは
底が １＜底（１０） なので
単調増加のグラフ
ｙ＝０ の時は ｘ＝ １
なのだけれど
題意から ｘ、ｙ、は １ではないので
分母のＬｏｇ 10 Ｘは ０ではない
０＜ｘ＜１ のとき
Ｌｏｇ 10 Ｘ のグラフは
単調増加のグラフで
この区間では Ｙ＜０
そして １ ヲ 超えると
Ｙ＞０
分母が 条件から
０ でないことを 確認して
分数不等式の ときの 形に
変形して
（Ｌｏｇ 10 Ｘ）（Ｌｏｇ 10 Ｙ）＜０
掛け合わせたのもが マイナスで
０＜ｘ＜１ の区間では
（Ｌｏｇ 10 Ｘ）＜０
ならば
（Ｌｏｇ 10 Ｙ）＞０
ｘ軸で
Ｌｏｇ 10 Ｙ の Ｙ＝１ より大きい時
１＜ｘ の時は
Ｌｏｇ 10 Ｘ・Ｌｏｇ 10 Ｙ＜０
になるのは
Ｌｏｇ 10 Ｘ＞０ になるのだから
Ｌｏｇ 10 Ｙ ＜０
➀’ より の 範囲を
まとめると こんな感じ
②’より
この 分数不等式を
Ｌｏｇ 10 Ｘ・・・１＜ｘの時は 正
分母を 払っても 不等号の向きは 同じ
対数は 底１０ 単調増加だから
対数を 取っ払っても
大小関係は 変わらず
ここに プラスして
題意よりの 条件
Ｌｏｇ 10 Ｘ・・・0＜ｘ＜１ の時は 負
分母を 取っ払うと
不等号の向きが変わって
②’ よりの 範囲を まとめて
➀’ ②’ の 全ての
存在範囲を しめすと
赤の斜線の範囲で
境界線は 含まれない。
お疲れ様です。
arge;">家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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