ていへんかけるたかさわるに

9 時起床.

抑鬱感がやや強くて体調は今一つだが踏ん張って起きる.

数学をやった.
練習問題の解答を LaTeX で書く.

圏 $\mathscr{C}$ の対象 $A$ 上のスライス圏 $\mathscr{C}\,\big/\,A$ を考える.
$\mathscr{C}$ の射 $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ をスライス圏 $\mathscr{C}\,\big/\,A$ の対象と見做した時, $\mathscr{C}\,\big/\,A$ の射 $h : f \rightarrow g$ が同型射になるための必要十分条件は, $\mathscr{C}$ において $h : B \rightarrow C$ が同型射かつ $g \circ h = f$ が成立することである. この証明は昨日書き終えた.

今日やったのは, $h : B \rightarrow C$ が圏 $\mathscr{C}$ においては同型射だが, スライス圏 $\mathscr{C}\,\big/\,A$ においては同型射にならない例の記述.
4 つ考えたのだが, 今日は 1 個しか書けなかった.

集合の圏 $\mathbf{Set}$ を考える.
$A = B = C = \mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z}$ は整数全体の集合) とすると $B$ と $C$ は $\mathbf{Set}$ において同型である.
$f : B \rightarrow A$ を $f(n) = 2 n\,(n \in B)$, $g : C \rightarrow A$ を $g(n) = 2 n + 1\,(n \in C)$ により定義する.
そうすると, $\mathbf{Set}$ における任意の同型射 $h : B \rightarrow C$ に対して $g \circ h \neq f$ となる.
$h$ の任意性から $f$ と $g$ はスライス圏 $\mathbf{Set}\,\big/\,A$ においては同型ではない.

簡単な例だが, こういうのを考えるのは楽しい.

昼食の準備をしようと思ったら鬱が強くなってきた.
数学をやっている間は割と好調だったのにどうして悪くなる?

動けなくなりそうでまずい.
頓服を飲んで寝込んだ.

うとうとしながら休み, 5 時に目が覚めた.
目が覚めたものの何もやる気が起きず, 頓服を飲んで何とか布団から出ることができた.

シャワーを浴びた. やや気持ちが上向く.

本を 1 ページ読んだ.
新しく描き始めた絵に丸を一つ付け加えた.
かろうじて読書・絵・数学は今日も続いたが, こんな続け方でちゃんと継続できる習慣になっていくのだろうか.

夕食はじゃが芋と玉葱の味噌汁と鯖塩焼きと納豆と卵かけご飯.
じゃが芋と玉葱の味噌汁に海苔を入れた.
こうすると美味しい (以前『ヨコハマ買い出し紀行』という漫画で読んで知った).