ていへんかけるたかさわるに

圏論の復習 ── 再び極限, 集合の圏の完備性 の続き.

今回は圏における余極限について概要を復習する.

以下, $\mathscr{C}$ を圏, $D : \mathscr{I} \rightarrow \mathscr{C}$ を任意の図式とする.

可換余錐 (commutative cocone). $W$ を圏 $\mathscr{C}$ の任意の対象とする. 図式 $D$ から定数図式 $W$ への自然変換 $\alpha : D \rightarrow W$ を, $W$ を頂点とする図式 $D : \mathscr{I} \rightarrow \mathscr{C}$ からの可換余錐 (commutative cocone) と呼ぶ. このとき $\mathscr{I}$ の各射 $e : i \rightarrow j$ に対して図式
\begin{equation*}
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\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
D(i) \ar[dd]_{D(e)} \ar[drr]^{\alpha i} & & \\
& & W \\
D(j) \ar[urr]_{\alpha j} & &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
$W$ を頂点とする $D$ からの可換余錐全体の集合を
\begin{equation*}
\Cocone(W,D)
\end{equation*} によって表わす.

$f : W \rightarrow W'$ を $\sC$ の任意の射とする. このとき, $W$ を頂点とする任意の可換余錐 $\alpha : D \rightarrow W$ に $W'$ を頂点とする可換余錐 $f \circ \alpha : D \rightarrow W'$ を対応させる写像 $\Cocone(D,f) : \Cocone(D,W) \rightarrow \Cocone(D,W')$ を考えることができる.
\begin{alignat*}{2}
\Cocone(D,f) & : \Cocone(D,W) & \qq\longrightarrow\qq & \Cocone(D,W) \\
~ & \hspace{3.4em}\alpha & \qq\longmapsto\qq &
\hspace{2em} f \circ \alpha
\end{alignat*}

命題. 写像 $\Cocone(-,D) : \sC \rightarrow \Set$ は共変関手である.

証明. $\alpha : D \rightarrow W$ を可換錐とする.
まず, 恒等射 $\Id{W} : W \rightarrow W$ に対して,
\begin{equation*}
\Cocone(D,\Id{W})(\alpha) = \Id{W} \circ \alpha = \alpha = \Id{\Cocone(D,W)}
\end{equation*} が成り立つ.
次に, 射 $f : W \rightarrow W', g : W' \rightarrow W''$ に対して,
\begin{align*}
\Cocone(D,{g \circ f})(\alpha) & = (g \circ f) \circ \alpha = g \circ (f \circ \alpha) \\
& = \Cocone(D,g)(f \circ \alpha) = \Cocone(D,g)(\Cocone(D,f)(\alpha)) \\
& = \Cocone(D,g) \circ \Cocone(D,f)(\alpha)
\end{align*} が成り立つ. 以上により $\Cocone(-,D)$ は共変関手である.

定義 (余極限). $D : \sI \rightarrow \sC$ を圏 $\sC$ における図式とする. このとき, $\sC$ の逆圏 $\Opp{\sC}$ における図式 $\Opp{D} : \Opp{\sI} \rightarrow \Opp{\sC}$ の極限が存在するならば, これを図式 $D$ の余極限と呼び $\Colim{D}$ で表わす.

極限の場合と同様この意味を考えてみる. 図式 $D$ の余極限が $\sC$ において存在すると仮定して, $P=\Colim{D}$ とおく. 定義より $\Opp{\sC}$ において $P=\lim{\Opp{D}}$ であるから $P$ は反変関手 $\Cone(-,\Opp{D}) : \Opp{\sC} \rightarrow \Set$ の, したがって関手 $\Cocone(D,-) : \sC \rightarrow \Set$ の普遍元である.
任意の $\sC$ の対象 $W$ に対して米田の補題により,
\begin{equation*}
\Nat(\Hom_{\sC}(W,-),\Cocone(D,-)) \simeq \Cocone(D,W)
\end{equation*} である.
特に $W=P$ のとき
\begin{equation*}
\Nat(\Hom_{\sC}(P,-),\Cocone(D,-)) \simeq \Cocone(P,D)
\end{equation*} において, $P$ が普遍元であることから $\Hom_{\sC}(P,-)$ から $\Cocone(D,-)$ への自然同型
\begin{equation*}
(\beta : \Hom_{\sC}(P,-) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Cocone(D,-)) \in \Nat(\Hom_{\sC}(P,-),\Cocone(D,-))
\end{equation*} が存在する. ここで
\begin{equation*}
p = {\beta P}(\Id{P}) \in \Cocone(D,P)
\end{equation*} とおいて得られる $D$ 上の可換余錐 $p : D \rightarrow P=\Colim{D}$ を $\Colim{D}$ に伴う普遍的な可換余錐と呼ぶ.

命題. $D : \sI \rightarrow \sC$ を図式とし, $\sC$ においてその余極限 $P=\Colim{D}$ が存在すると仮定する. $p : D \rightarrow P=\lim{D}$ をこの極限に伴う普遍的な可換余錐とする. このとき, $D$ 上の任意の可換余錐 $\alpha : D \rightarrow W$ に対して, 一意的な射 $u : P \rightarrow W$ が存在して $\alpha = u \circ p$ が成り立つ.

証明. これは $P=\Colim{D}$ を逆圏 $\Opp{\sC}$ において考えれば, 極限において普遍性が成り立つことから余極限においても成り立つことが言える.
しかしここでは具体的な計算も行ってみる.
仮定により, $\Hom(P,-)$ から $\Cocone(D,-)$ への自然同型
\begin{equation*}
\beta : \Hom_{\sC}(P,-) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Cocone(D,-)
\end{equation*} が存在する. $u=(\beta^{-1}W)(\alpha)$ とおく. $\beta$ は自然変換だから $u : P \rightarrow W$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\sC}(P,P) \ar[r]^{\beta P} \ar[d]_{\Hom_{\sC}(P,u)} & \Cocone(D,P) \ar[d]^{\Cocone(D,u)} \\
\Hom_{\sC}(P,W) \ar[r]_{\beta W} & \Cocone(D,W)
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる. これより
\begin{align*}
u \circ p & = \Cocone(D,u)(p) = \Cocone(D,u)({\beta P}(\Id{P})) \\
& = \Cocone(D,u) \circ {\beta P}(\Id{P}) = {\beta W} \circ \Hom_{\sC}(P,u)(\Id{P}) \\
& = {\beta W}(u \circ \Id{P}) = {\beta W}(u) = {\beta W}((\beta^{-1} W)(\alpha)) = {\beta W} \circ {\beta^{-1} W}(\alpha) \\
& = \alpha
\end{align*} が成り立つ.

定義 (余完備性). 圏 $\sC$ において, 任意の有限図式の余極限が存在するとき, $\sC$ は有限余完備 (finite cocomplete) であると言う. さらに任意の図式の極限が存在するとき, $\sC$ は完備 (cocomplete) であると言う.

極限の説明で述べたように, 集合の圏 $\Set$ は完備であり, $\Set$ における任意の図式 $D$ の極限は, $*$ を一点集合としたときに $\Cone(*,D)$ となる.

一方 $\Set$ は余完備でもある. これは別の文章にまとめる.