ていへんかけるたかさわるに

集合の圏 $\mathbf{Set}$ において, いくつかの図式に対してその極限を求めてみる.

$\mathbf{Set}$ においては, 有限図式, 無限図式を問わず任意の図式は極限を持つ. つまり $\mathbf{Set}$ は完備 (complete) である.
$\mathbf{Set}$ の完備性を示す次の命題がある.

命題.$\,$ $D : \mathscr{I} \rightarrow \mathbf{Set}$ を $\mathbf{Set}$ における任意の図式とする. また, $* = \left\{ \bullet \right\}$ を 1 個の元 $\bullet$ のみからなる集合とする. $*$ を頂点とする図式 $D$ 上の可換錐全体の集合 $\mathrm{Cone}(*, D)$ から $D$ への写像 $p : \mathrm{Cone}(*, D) \rightarrow D$ を, 各々の可換錐 $(c : * \rightarrow D) \in \mathrm{Cone}(*, D)$ に対して
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Cone}[2]{\mathrm{Cone}(#1,#2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
p(i)(c) = c(i)(\bullet) \qquad (i \in \Ob{\Ms{I}})
\end{equation*} と定義する. このとき $p$ は $\Cone{*}{D}$ を頂点とする図式 $D$ 上の可換錐であり,
\begin{equation*}
\lim\, D = (p : \Cone{*}{D} \longrightarrow D)
\end{equation*} が成り立つ.

この命題によれば, $\Mb{Set}$ における任意の図式 $D$ に対して, 上で定義される可換錐 $p : \Cone{*}{D} \rightarrow D$ が $D$ の $\Mb{Set}$ における極限 $\lim\, D$ になる. したがって $\Mb{Set}$ は完備である.

以下の例では, 必要に応じて簡単のために
\begin{equation*}
\lim\, D = (p : \Cone{*}{D} \longrightarrow D)
\end{equation*} の代わりに
\begin{equation*}
\lim\, D = \Cone{*}{D}
\end{equation*} のように記述する. その場合には一意的な可換錐 $p : \Cone{*}{D} \rightarrow D$ については個別に記す.

グラフ:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_1: & 1 }
\end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_2: & 1 & 2 }
\end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_3: & 1 \ar[r]^{e} & 2 }
\end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_4: & 1 \ar[r]^{e_1} & 2 & 3 \ar[l]_{e_2} }
\end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_5: & 1 \ar@<2pt>[r]^{e_1} \ar@<-2pt>[r]_{e_2} & 2 }
\end{xy}
\end{equation*} を考える. これらに対して, 図式 $D_k : \Ms{I}_k \rightarrow \Mb{Set} \qq (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ を次のように定義する.

(1) $D_1 : \Ms{I}_1 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { D_1 (1) }
\end{xy}
\end{equation*} このとき,
\begin{align*}
\Cone{*}{D_1} &= \left\{\, c : * \rightarrow D_1 \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, c(1) : * \rightarrow D_1(1) \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, c(1)(\bullet) \in D_1(1) \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, x \mid x \in D_1(1) \,\right\} \\
&= D_1(1)
\end{align*} で, 一意的な可換錐 $(p : \Cone{*}{D_1} \rightarrow D) = (d_1 : D_1(1) \rightarrow D_1)$ は
\begin{equation*}
d_1(1)(x) = x
\end{equation*} を満たすから
\begin{equation*}
d_1 = (\Id{D_1(1)} : D_1(1) \longrightarrow D_1(1))
\end{equation*} である. したがって
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\lim\, D_1: & D_1(1) \ar[r]^{\Id{D_1(1)}} & D_1(1)
}
\end{xy}
\end{equation*} つまり $\lim\, D_1$ は $D_1$ の唯一のイメージである集合 $D_1(1)$ 自身である.

(2) $D_2 : \Ms{I}_2 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt {
D_2 (1) & D_2 (2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき,
\begin{align*}
\Cone{*}{D_2} &= \left\{\, c : * \rightarrow D_2 \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, ((c(1) : * \rightarrow D_2(1)), (c(2) : * \rightarrow D_2(2))) \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, (c(1)(\bullet), c(2)(\bullet)) \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (x, y) \mid x \in D_2(1), y \in D_2(2) \,\right\} \\
&= D_2(1) \times D_2(2)
\end{align*} である. 一意的な可換錐 $(p : \Cone{*}{D_2} \rightarrow D_2) = (d_2 : D_2(1) \times D_2(2) \rightarrow D_2)$ は,
\begin{align*}
d_2(1) &= (p_1 : D_2(1) \times D_2(2) \longrightarrow D_2(1) \,;\, (x, y) \longmapsto x), \\
d_2(2) &= (p_2 : D_2(1) \times D_2(2) \longrightarrow D_2(2) \,;\, (x, y) \longmapsto y) \\
\end{align*} となり, 各成分への座標射影となる. したがって
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\lim\, D_2: & D_2 (1) & D_2 (1) \times D_2 (2) \ar[l]_-{p_1} \ar[r]^-{p_2} & D_2 (2)
}
\end{xy}
\end{equation*} つまり $\lim\, D_2$ は 2 つの集合 $D_2(1)$ と $D_2(2)$ の直積である.

(3) $D_3 : \Ms{I}_3 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3 (1) \ar[r]^{D_3 (e)} & D_3 (2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき,
\begin{align*}
\Cone{*}{D_3} &= \left\{\, c : * \rightarrow D_3 \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (c(k): \bullet \mapsto c(k)(\bullet) \in D_3(k))_{k = 1, 2} \mid D_3(e) \circ c(1)(\bullet) = c(2)(\bullet),\, c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, (c(1)(\bullet), D_3(e)(c(1)(\bullet))) \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, c(1)(\bullet) \mid c(1)(\bullet) \in D_3(1),\, c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, x \mid x \in D_3(1) \,\right\} \\
&= D_3(1)
\end{align*} である. 一意的な可換錐 $(p : \Cone{*}{D_3} \rightarrow D_3) = (d_3 : D_3(1) \rightarrow D_3)$ は
\begin{align*}
d_3(1) &= (\Id{D_3(1)} : D_3(1) \longrightarrow D_3(1)), \\
d_3(2) &= (D_3(e) : D_3(1) \longrightarrow D_3(2))
\end{align*} を取ることができる. したがって $\lim\, D_3$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\lim\, D_3: & D_3(1) \ar[d]_{\Id{D_3(1)}} \ar[dr]^{D_3(e)} & \\
& D_3(1) \ar[r]_{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. $\lim\, D_3$ は $D_3(e)$ の定義域である $D_3(1)$ である.

(4) $D_4 : \Ms{I}_4 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
& D_4 (3) \ar[d]^{D_4 (e_2)} \\
D_4 (1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき,

\begin{align*}
\Cone{*}{D_4} &= \left\{\, c : * \rightarrow D_4 \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (c(k) : \bullet \mapsto c(k)(\bullet) \in D_4(k))_{k = 1, 2, 3} \mid D_4(e_1)(c(1)(\bullet)) = c(2)(\bullet) = D_4(e_2)(c(3)(\bullet)), c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (c(1)(\bullet), c(2)(\bullet), c(3)(\bullet)) \mid D_4(e_1)(c(1)(\bullet)) = c(2)(\bullet) = D_4(e_2)(c(3)(\bullet)), c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, (c(1)(\bullet), c(3)(\bullet)) \mid D_4(e_1)(c(1)(\bullet)) = D_4(e_2)(c(3)(\bullet)), c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (x, y) \in D_4(1) \times D_4(3) \mid D_4(e_1)(x) = D_4(e_2)(y) \,\right\} \\
&= \bigcup_{z \in D_4(2)} (D_4(e_1)^{-1}(z) \times D_4(e_2)^{-1}(z))
\end{align*} である. ここで
\begin{equation*}
P_4 = \bigcup_{z \in D_4(2)} (D_4(e_1)^{-1}(z) \times D_4(e_2)^{-1}(z))
\end{equation*} とおけば, 一意的な可換錐 $(p : \Cone{*}{D_4} \rightarrow D_4) = (d_4 : P_4 \rightarrow D_4)$ は
\begin{align*}
d_4(1) &= (p_1 : P_4 \longrightarrow D_4(1) \,;\, (x, y) \longmapsto x), \\
d_4(2) &= (P_4 \longrightarrow D_4(2) \,;\, (x, y) \longmapsto D_4(e_1)(x) = D_4(e_2)(y)), \\
d_4(3) &= (p_2 : P_4 \longrightarrow D_4(3) \,;\, (x, y) \longmapsto y)
\end{align*} により定まる. $p_1$, $p_2$ のみを考えればいいので, これにより $\lim\, D_4$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\lim\, D_4 : & P_4 \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & D_4 (3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
& D_4 (1) \ar[r]_{D_4 (e_1)} & D_4 (2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. $P_4$ は $D_4 (1)$ と $D_4 (3)$ の $D_4 (2)$ 上の引き戻し (あるいはファイバー積) である.

(5) $D_5 : \Ms{I}_5 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_5 (1) \ar@<2pt>[r]^{D_5 (e_1)} \ar@<-2pt>[r]_{D_5(e_2)} & D_5(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき,
\begin{align*}
\Cone{*}{D_5} &= \left\{\, c : * \rightarrow D_5 \mid c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&= \left\{\, (c(k) : \bullet \mapsto c(k)(\bullet) \in D_5(k))_{k = 1, 2} \mid D_5(e_1)(c(1)(\bullet)) = D_5(e_2)(c(2)(\bullet)), c \,\text{は可換錐} \,\right\} \\
&\simeq \left\{\, x \in D_5(1) \mid D_5(e_1)(x) = D_5(e_2)(x) \,\right\}
\end{align*} である. ここで
\begin{equation*}
P_5 = \left\{\, x \in D_5(1) \mid D_5(e_1)(x) = D_5(e_2)(x) \,\right\}
\end{equation*} とおけば, 一意的な可換錐 $(p : \Cone{*}{D_5} \rightarrow D_5) = (d_5 : P_5 \rightarrow D_5)$ は
\begin{align*}
d_5(1) &= (h : P_5 \longrightarrow D_5(1) \,;\, x \longmapsto x), \\
d_5(2) &= (P_5 \longrightarrow D_5(2) \,;\, x \longmapsto D_5(e_1)(x) = D_5(e_2)(x))
\end{align*} により得られるが, $P_5$ の定義より $d_5(2) = D_5(e_1) \circ h = D_5(e_2) \circ h$ だから $d_5(2)$ は $h$ と $D_5(e_1)$, $D_5(e_2)$ から導かれる. よって $h = d_5(1)$ のみを考えればよい.
したがって $\lim\, D_5$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\lim\, D_5 : & P_5 \ar[r]^{h} & D_5 (1) \ar@<2pt>[r]^{D_5 (e_1)} \ar@<-2pt>[r]_{D_5(e_2)} & D_5(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. $P_5$ を射 $D_5(e_1)$, $D_5(e_2)$ のイコライザー (equalizer) と呼ぶ.

次の文章では余極限 (colimit) について書く. 余極限は逆圏における極限なので概略のみを説明する.