ていへんかけるたかさわるに

圏論の基礎的な事柄を自分が復習した流れに沿って書き留めておく.

圏における極限のメモ.

図式の定義 → 米田の補題 → 極限の定義 → 余極限の定義 の順番で書く.

まず図式の定義から.

定義: グラフ (graph). $\, $ $O$ と $A$ を集合, $d^0,
d^1 : A \rightarrow O$ を写像とするとき, 4 つ組
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)} \newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}} \newcommand{\CommaCat}[2]{(#1
\downarrow #2)} \newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1, #2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}} \newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}} \newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}} \newcommand{\Src}{d^{0, \mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1, \mathrm{op}}} \Ms{G} = (A, O, d^0, d^1)
\end{equation*} をグラフ (graph)と呼ぶ. $O$ の元を $\Ms{G}$ の対象 (objects), $A$ の元を $\Ms{G}$ の射 (arrows)と言う.
また, 任意の $\Ms{G}$ の射 $f \in A$ に対して, $d^0 (f) \in O$ を $f$ のソース (source), $d^1 (f) \in O$ を $f$ のターゲット (target)と言う.
$A \in O$ をソース, $B \in O$ をターゲットとする $\Ms{G}$ の射 $f$ を $f : A \rightarrow B$ のように記す.
グラフ $\Ms{G}$ はイメージとしては "射の合成が定義されていない圏" とも言える.

グラフに関するいくつかの用語を導入する.

$\Ms{G} = (O_1, A_1, {d_1}^0, {d_1}^1)$, $\Ms{H} = (O_2, A_2, {d_2}^0, {d_2}^1)$ をグラフとする. 写像 $F : \Ms{G} \rightarrow \Ms{H}$ が条件:
(i) $\Ms{G}$ の任意の対象 $A \in O_1$ に対して $F (A) \in O_2$ は $\Ms{H}$ の対象である;
(ii) $\Ms{G}$ の任意の射 $(f : A \rightarrow B) \in A_1$ に対して $(F (f) : F (A) \rightarrow F (B)) \in A_2$ は $\Ms{H}$ の射である.
を満たすとき, $F$ は $\Ms{G}$ から $\Ms{H}$ への準同型 (homomorphism)であると呼ぶ.

任意の小さい圏 $\Ms{C}$ は, 射の合成を捨象することによってグラフと考えることができる. これを圏 $\Ms{C}$ の台グラフ (underlying graph)と呼び $|\Ms{C}|$ と記す.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$ を関手としたとき, グラフの準同型 $|F| : |\Ms{C}| \rightarrow |\Ms{D}|$ が導かれる.

定義: 図式 (diagram).$\,$ $\Ms{C}$ を圏, $\Ms{I}$ をグラフとするとき, グラフ準同型 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を $\Ms{C}$ における図式 (diagram)と呼ぶ. $\Ms{I}$ を添字グラフ (index graph)と呼ぶ. 添字グラフ $\Ms{I}$ が有限個の対象と射からなるとき, 図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$
を有限グラフ (finite graph)と呼ぶ.

混乱の恐れが無いならば, 圏 $\Ms{C}$ における図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を, 単に $D : \Ms{I} \rightarrow \Ms{C}$ のように書く.

図式の例をいくつか挙げておく.

グラフ:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_1: & 1 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_2: & 1 & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_3: & 1 \ar[r]^{e} & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_4: & 1 \ar[r]^{e_1} & 2 & 3 \ar[l]_{e_2} }
\end{xy}
\end{equation*} を考える. これらに対して, 図式 $D_k :
\Ms{I}_k \rightarrow \Mb{Set} \qq (k = 1, 2, 3, 4)$ を次のように定義する. 極限の定義はまだ行っていないが, それぞれの図式の極限を示しておく (†).
†: $\Mb{Set}$ においては, 任意の図式に対してその極限が存在する.

(1) $D_1 : \Ms{I}_1 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_1$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} つまり, 集合 $D_1(1)$ 自身である.

(2) $D_2 : \Ms{I}_2 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt {
D_2(1) & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_2$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_2(1) & D_2(1) \times D_2(2) \ar[l]_-{p_1} \ar[r]^-{p_2} & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} つまり 2 つの集合 $D_2(1)$ と $D_2(2)$ の直積である.

(3) $D_3 : \Ms{I}_3 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[r]^{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_3 = D_3(1)$ であり図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[d]_{\Id{D_3(1)}} \ar[dr]^{D_3(e)} & \\
D_3(1) \ar[r]_{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.

(4) $D_4 : \Ms{I}_4 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
& D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき $P_4 = \lim\, D_4$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P_4 \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. つまり $P_4$ は $D_4(1)$ と $D_4(3)$ の $D_4(2)$ 上の引き戻しである.

これで図式が定義できた.

この続きの文章では, 図式の極限を定義するための準備として米田の補題について書く.