ていへんかけるたかさわるに

作業療法の往き帰りの電車の中で Freyd の随伴関手定理の証明の解読をする.
本に載っている証明が方針と概略のみを示したものなので, これをきちんと完全な証明にする作業である.

---

定理 (Freyd). $\hspace{0.5em}$ $\mathscr{D}$ を全ての極限が存在する圏とする. このとき, 関手 $R : \mathscr{D} \to \mathscr{C}$ が左随伴関手を持つための必要十分条件は, $R$ が全ての極限を保存し, かつ解集合条件を満たすことである.

---

ここで, 解集合条件 (solution set condition) は次のように述べられる.

---

定義 (解集合条件). $\hspace{0.5em}$ 関手 $R : \mathscr{D} \to \mathscr{C}$ と $\mathscr{C}$ の対象 $A$ に対して, $\mathscr{D}$ の対象 $B$ と $\mathscr{C}$ の射 $y : A \to RB$ の組 $(y, B)$ からなる集合 $\mathscr{S}$ が存在して, $\mathscr{C}$ の任意の射 $d : A \to RD$ について, ある $(y, B) \in \mathscr{S}$ と $\mathscr{D}$ の射 $f : B \to D$ で
\begin{equation}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
d = Rf \circ y \q (= \Hom_{\Ms{C}}(A, Rf)(y) = [\Hom_{\Ms{C}}(A, R(-))(f)](y))
\end{equation}
が成り立つ, すなわち図式
\begin{equation}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[r]^{y} \ar[rd]_{d} & RB \ar[d]^{Rf} \\
~ & RD
}
\end{xy}
\end{equation}
が可換図式になるようなものがとれるとき, $\mathscr{S}$ を $R$ と $A$ に対する 解集合 (solution set)と呼ぶ. $\mathscr{C}$ の各対象 $A$ について $R$ と $A$ の解集合が存在するとき, $R$ は 解集合条件 (solution set condition) を満たすと言う.

---

意味が取りにくい定義だが, $R$ が各 $A \in \Ob{\Ms{C}}$ と任意の $d : A \to RD$ に対して, 関手 $\Hom_{\Ms{C}}(A, R(-))$ に対する普遍射のような射 $y : A \to RB$ が少なくとも 1 つ存在することを言っている. このような $y$ を $R$ と $A$ に対する 弱普遍射 (weak universal arrow) と呼ぶ (普遍射の存在条件は満たすが一意性条件は満たすとは限らない).

上記定理の証明の流れは次の通り. $\Ms{S}$ を $R$ と $A \in \Ob{\Ms{C}}$ に対する解集合とする. $R$ が $\Ms{D}$ の極限を保存することより, $A$ に対して $\Ms{D}$ の対象 $WA$ を
\begin{equation}
WA = R\left(\prod_{(y, B) \in \Ms{S}} B \right) = \prod_{(y, B) \in \Ms{S}} RB
\end{equation}
と定義する. この $WA$ は解集合条件により $R$ の左随伴関手のような性質を持ち, 弱普遍射 $\zeta A : A \to RWA$ が導かれる ($(\zeta A, WA) \in \Ms{S}$).

ここから解集合条件を何度か使って左随伴関手 $LA$ (やや技巧的な方法により $WA$ の部分対象として定義する) と普遍射 $\eta A : A \to RLA$ を構成していく.

とりあえず, $LA$ を構成するところまでは何とかわかった.

自分の場合, いつものことで理解するのに時間はかかるが, 少しづつわかってくるのが面白い.