ていへんかけるたかさわるに

先の文章で取り上げた米田の補題は次のようなものだった.

米田の補題 (The Yoneda Lemma). $\,$ $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} によって定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型である.

米田の補題の証明の概要は書いたが, ここでは "$\varphi$ が自然な同型である" という記述の意味について説明する.

上記の定義を見ればわかるが, $\varphi$ は $\Ms{C}$ の対象 $B$ と関手 $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ に依存して定まるものである. これを明確にするために, 単に $\varphi$ と書く代わりに $\varphi(B, F)$ と書くことにする.
\begin{equation*}
\varphi(B, F) : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB.
\end{equation*}

関手 $H : \Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ を任意にとる. ここで, $g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射であり, $\mu : F \rightarrow G$ は $\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射, つまり自然変換である. この射 $(g, \mu)$ に対して写像
\begin{equation*}
H(g, \mu) : H(B, F) \longrightarrow H(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
H(g, \mu) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu} : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G}
\end{equation*} と定義する.
この写像はわかりにくいので具体的に計算をしてみる. $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を自然変換とすると
\begin{equation*}
H(g, \mu)(\lambda) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda) : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \longrightarrow G
\end{equation*} だから $H(g, \mu)(\lambda)$ は $\Hom_{\Ms{C}}(A, -)$ から $G$ への自然変換である.
$C$ を ${\Ms{C}}$ の対象, $h : C \rightarrow C'$ を ${\Ms{C}}$ の射としたとき,
\begin{align*}
(H(g, \mu)(\lambda)C)(h) &= [(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))C](h) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(\Hom_{\Ms{C}}(g, C)(h)) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(h \circ g) \\
~ &= (\mu \circ \lambda)C(h \circ g)
\end{align*} である.

関手 $E : \Ms{C} \times\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
E(B, F) = FB
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ ($g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射, $\mu : F \rightarrow G$ は自然変換) に対して写像
\begin{equation*}
E(g, \mu) : E(B, F) \longrightarrow E(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
E(g, \mu) = \mu A \circ Fg
\end{equation*} と定義する.

$E$ については名前が付いていて, $E(B, F) = FB$ となることから評価関手 (evaluation functor)と呼ばれている. この 2 つの関手 $H$ と $E$ は写像
\begin{align*}
\varphi(B, F) : H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &\longrightarrow FB = E(B, F) \\
\lambda \hspace{15mm} &\longmapsto \hspace{5mm} \lambda B(\Id{B})
\end{align*} によって圏 $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各々の対象 $(B, F)$ 上で同型となる.


命題.$\,$ $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.

この命題は定義に基いて計算を行えば証明できる.

大まかな流れを書く.
図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[d]_{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi(B, F)} & FB \ar[d]^{\mu A \circ Fg} \\
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G} \ar[r]_{\hspace{12mm}\varphi(A, G)} & GA
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $\lambda$ が自然変換だから, ${\Ms{C}}$ の射 $g : B \rightarrow A$ に関して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, A) \ar[r]_{\lambda A} & FA
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.

上の図式に対して, 前述の計算結果と $\lambda$ の自然変換の図式を用いると
\begin{align*}
(\mu A \circ Fg) \circ \varphi(B, F)(\lambda) &= (\mu A \circ Fg)(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= \mu A \circ (Fg \circ \lambda B)(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ (\lambda A \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g))(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ \lambda A(g \circ \Id{B}) = \mu A \circ \lambda A(g) = \mu A \circ \lambda A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\mu A \circ \lambda A)(\Id{A} \circ g) = (\mu \circ \lambda)A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A(\Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A})) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A \circ \Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A}) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))A(\Id{A}) \\
~ &= \varphi(A, G)(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)) \\
~ &= \varphi(A, G) \circ \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)
\end{align*} が得られる.
したがって対象としている図式は可換であり, $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.

まとめると, $\varphi ： H \rightarrow E$ は自然変換かつ, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各対象上で同型写像である.
このことにより, $\varphi$ は自然同型 (natural isomorphism) であると言われる.

次の文章以降では, 米田の補題によって普遍元 (universal element) の概念を導入した後に, 圏における図式の極限を定義する.