ていへんかけるたかさわるに

集合の圏を特徴付ける 2 つの性質として
・ 任意の有限極限が存在する;
・ 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合を構成できる.
に注目する.

圏論において, トポス (topos) はこれらを一般化した性質を備えた圏として定義されるが, この観点からは集合論の一般化と考えることもできる.
また, 別の観点からは, 位相空間上の層のなす圏の抽象化とも言える.

読んでいる本では, 最初はトポスを集合の一般化として定義していて, その際に部分対象関手 (subobject functor) が用いられる.
これについてメモしておく.

圏 $\mathscr{C}$ において, 射 $f : A \rightarrow B$ が, 2 つの射 $g, g' : T \rightarrow A$ に対して
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
f \circ g = f \circ g'
\end{equation*} を満たすとき常に $g = g'$ が成り立つならば, $f$ は単射 (monomorphism) であると言い, $f : A \rightarrowtail B$ のように書く.

圏 $\Ms{C}$ において,
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\ar@{}[d]_{D:} & ~ & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*}
の形の任意の図式 $D$ が常に引き戻し (pullback), つまり図式 $D$ の $\Ms{C}$ における極限 $P = \lim\,D$ を持つものとする.
このとき, 射 $p_1 : P \rightarrow A$, $p_2 : P \rightarrow B$ が一意的に存在して, 図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} が可換になる.
このような圏 $\Ms{C}$ では, 上記の図式において $g$ が単射ならば $p_1$ も単射になるという性質がある.
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{}*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
P \ar@{ >->}[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar@{ >->}[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} これは, $\Ms{C}$ の射 $f : A \rightarrow C$ によって, $C$ への単射 $g : B \rightarrowtail C$ が, $A$ への単射 $p_1 : P \rightarrowtail A$ に引き戻されることを意味する.

2 つの単射, $g : U \rightarrowtail A$, $h : V \rightarrowtail A$ を考える. これらに対して射 $i : U \rightarrow V$,
$j : V \rightarrow U$ が存在して, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g \ar[rr]^{i} & & V \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\qquad
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g & & V \ar[ll]_{j} \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\end{equation*} が共に可換になるときに,
\begin{equation*}
g \sim h
\end{equation*} と書くことにする.
上記の 2 つの図式が可換であることより, $g = g \circ (j \circ i)$, $h = h \circ (i \circ j)$ が成り立つが, $g$, $h$ が単射であることより $j \circ i = \Id{U}$, $i \circ j = \Id{V}$ が成り立つ. つまり $U$ と $V$ は $i$, $j$ を同型射として同型になる.
対象 $A$ をターゲットとする単射全体の集合を $M(A)$ とおくとき, $\sim$ は実際に $M(A)$ 上の同値関係となるので, これによる商空間を
\begin{equation*}
\Sub(A) = M(A) \big/ \sim
\end{equation*} とおく.
各単射 $g : U \rightarrowtail A$ の同値関係 $\sim$ による同値類を $[g] = [g : U \rightarrowtail A]$ と書くことにすれば,
\begin{equation*}
\Sub(A) = \left\{\, [g : U \rightarrowtail A] \mid g \in M(A) \,\right\}
\end{equation*} である.
$\Sub(A)$ の元を $A$ の部分対象 (subobject) と呼ぶ.

$\Ms{C}$ の任意の射 $f : B \rightarrow A$ に対して, 単射 $g : U \rightarrowtail A$, $g' : U' \rightarrowtail A$ が与えられ, $g \sim g'$ が成立しているとする. $\Ms{C}$ に関する仮定より図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
& U \ar@{ >->}[d]^g \\
B \ar[r]_f & A &
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
& U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は共に単射 $g$, $g'$ の引き戻しとなる一意的な単射 $h : V \rightarrowtail B$, $h' : V' \rightarrowtail B$ を持ち, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
V \ar@{ >->}[d]_h \ar[r]^{p_2} & U \ar@{ >->}[d]_g \\
B \ar[r]_f & A
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
V' \ar@{ >->}[d]_{h'} \ar[r]^{p'_2} & U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は可換になる.
このとき, $h \sim h'$ が成り立つことが示せるので, 集合間の射 $\Sub(f) : \Sub(A) \rightarrow \Sub(B)$ を
\begin{equation*}
\Sub(f)([g]) = [h]
\end{equation*} と定義することができる.

このようにして定義される写像 $\Sub : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる. $\Sub$ を $\Ms{C}$ 上の部分対象関手 (subobject functor) と呼ぶ.
通常, 混乱の恐れが無い場合には同値類 $[g : U \rightarrowtail A]$ の代わりに射 $g : U \rightarrowtail A$ 自体を $A$ の部分対象として扱う.

これにより, 上記の図式 $D$ が常に極限を持つような圏 $\Ms{C}$ において, $\Mb{Set}$ における部分集合の一般化である部分対象が定義される.
部分対象が定義できる条件として, 任意の引き戻しの存在が要求されるという事実が興味深い.