随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド の続き.
随伴が与えられたとき, そこからモナドが構成されることを見た.
ではその逆, つまりモナドが与えられたときに何らかの仕方でそのモナドを導くような随伴を構成できるかという問題が生じる.
これに対しては, 圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナドから少なくとも 2 種類の随伴を構成できることが示せる.
1 つは Eilenbert-Moore 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴であり, もう 1 つは Kleisli 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴である.
これらは, モナド $T$ を導く全ての随伴からなる圏 $\mathbf{Adj}_T$ を考えたときに, それぞれそこにおける終対象と始対象になっている.
Eilenberg-Moore 圏を定義する.
定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つような圏とする. $T$ 上の Eilenberg-Moore 圏 (Eilenberg-Moore category) または $T$-代数の圏 (category of $T$-algebras) $\mathrm{C}^T$ を次のように構成する.
・ $\mathrm{C}$ の対象 $A$ と射 $a : TA \rightarrow A$ で, 図式
\begin{equation*}
\label{Eilenberg-Moore-category}
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\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[dr]_{\Un{A}} & TA \ar[d]^a \\
& A
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T^2A \ar[r]^{\mu_A} \ar[d]_{Ta} & TA \ar[d]^a \\
TA \ar[r]_a & A
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation*} を可換にするものの対 $(A,a)$ を $\rC^T$ における対象とする.
$(A,a)$, $(B,b)$ を $\rC^T$ の 2 つの対象とするとき, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ で, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
TA \ar[r]^{Tf} \ar[d]_a & TB \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものを圏 $\rC^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ とする.
例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ を考える. 簡単のために
\begin{equation*}
TA=A_+=A \amalg \{\bot_A\}
\end{equation*} と記すことにする. ここで $\bot_A$ は $A$ の元以外の元である. 具体的にはたとえば集合 $A$ 自体を考えればよい ($A_+ = A \amalg \{A\}$). このモナドから構成される Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ において, 対象 $(A,a)$ は, $\rC$ の対象 $A$ と, 図式 (\ref{Eilenberg-Moore-category}) を可換にする $\rC$ の射 $a : A+ \rightarrow A$ により構成される. (\ref{Eilenberg-Moore-category}) の左の三角形の図式は, $a$ が $A \subset A_+$ 上では恒等写像であることを示している.
また, $a$ による $\bot_A \in A_+$ の移り先は $A$ のいずれかの点であり, $(A,a(\bot_A)) \in \Set_+$, より簡潔に $(A,a)$ と記すことができる.
$\Set^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ は $\Set$ における関数 $f : A \rightarrow B$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{f_+} \ar[d]_a & B_+ \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものである. したがって $f(\bot_A) = \bot_B$ であり, $a(\bot_A$), $b(\bot_B)$, を単に $a,b$ と書けば $f(a) = b$ となる.
つまり, meybe モナド $(T,\eta,\mu)$ 上の Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ は点付き集合の圏 $\Set_+$ と同一視できる.
Eilenberg-Moore 圏において次の補題が成り立つ.
補題. 圏 $\rC$ 上の任意のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $\rC$ と Eilenberg-Moore 圏の間の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F^T} \ar@{}[r]|{\bot} & \rC^T \ar@<1ex>[l]^{U^T}
}
\end{xy}
\end{equation*} が存在し, この随伴から導かれるモナドは $(T,\eta,\mu)$ である.
証明は省略するが, $U^T : \rC^T \rightarrow \rC$ は忘却関手 (forgetful functor) として定まり, $F^T : \rC \rightarrow \rC^T$ は $\rC$ の対象 $A$ に対してその像を
\begin{equation*}
F^TA := (TA,\mu_A : T^2A \rightarrow TA)
\end{equation*} として, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
F^Tf := (TA,\mu_A) \xrightarrow{Tf} (TB,\mu_B)
\end{equation*} として定まる.
定義より
\begin{equation*}
U^T F^T A = TA,
\end{equation*} すなわち $U^T F^T = T$ である.
この随伴における単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow U^T F^T$ は, モナド $(T,\eta,\mu)$ における $\eta$ そのものであり, 余単位 (counit) $\epsilon : F^T U^T \Rightarrow \Un{\rC^T}$ は $\rC^T$ の各対象 $(A,a)$ に対して
\begin{equation*}
\epsilon_{(A,a)} := a : F^T U^T A = TA \rightarrow A
\end{equation*} である. この $\epsilon$ に対して $U^T \epsilon F^T = \mu : T^2 \Rightarrow T$ が成り立つ.
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