ていへんかけるたかさわるに

$\mathscr{C}$ を任意の圏とする.
$\mathscr{C}$ の射の集まり $\mathrm{Ar}({\mathscr{C}})$ に対して次のように定める.
(i) $\mathscr{C}$ の射を対象とする;
(ii) $f : X \to Y$, $g : X' \to Y'$ を $\mathscr{C}$ の 2 つの射とする. $f$ から $g$ への射を, $\mathscr{C}$ の射 $h : X \to X'$, $k : Y \to Y'$ の対 $(h, k)$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
X \ar[d]_{f} \ar[r]^{h} & X' \ar[d]^{g} \\
Y \ar[r]_{k} & Y'
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換図式にするものと定義する.

このとき $\mathrm{Ar}({\mathscr{C}})$ は圏となる. これを圏 $\mathscr{C}$ の射圏 (arrow category) と呼ぶ.

$\mathscr{C}$ の対象 $\mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ において, 対象が同型であることは $\mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ における同値関係となる. $\mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ をこの同値関係で割った商空間を $\hat{O}$ とおく.

同様に, $\mathrm{Ar}({\mathscr{C}})$ の対象 $\mathrm{Ob}(\mathrm{Ar}({\mathscr{C}}))$ (つまり $\mathscr{C}$ の射の集まり) において, 対象が同型であることは $\mathrm{Ob}(\mathrm{Ar}({\mathscr{C}}))$ における同値関係となる. $\mathrm{Ob}(\mathrm{Ar}({\mathscr{C}}))$ をこの同値関係で割った商空間を $\hat{A}$ とおく.

$\hat{O}$ と $\hat{A}$ に対して次の操作を行う.
・ $\hat{O}$ の各同値類から $\mathscr{C}$ の対象を 1 個ずつ選ぶ. 結果の集まりを $O$ とおく;
・ $\hat{A}$ の各同値類から $\mathrm{Ar}({\mathscr{C}})$ の対象を 1 個ずつ選ぶ. 結果の集まりを $A$ とおく.

この $O$ と $A$ を適切に定め, 以下の 4 つの関数を適切に定義することより, $O$ を対象, $A$ を射とする圏を構成することができる.
このために,
(1) $d^0, d^1 : A \to O$. ── $A$ に属する任意の射に対して, それぞれ射のソースとターゲットになる $O$ の対象を与える;
(2) $u : O \to A$. ── $O$ に属する任意の対象に対して, その上の恒等射 (identity) を与える;
(3) $m : P \to A$. ここで
\begin{equation*}
P = \left\{\, (f, g) \mid f, g \in A. \, d^0(f) = d^1(g) \,\right\}
\end{equation*}
である ── $A$ の 2 つの射 $f$ と $g$ に対して $f$ のソース $d^0(f) \in O$ と $g$ のターゲット $d^1(g) \in O$ が等しいとき, $f$ と $g$ の射の合成を与える.

このように構成された圏を
\begin{equation*}
\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*}
と表わし, 圏 $\mathscr{C}$ の骨格 (skeleton) と呼ぶ.

今やっているのは, $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ の構成と, それが圏であることの証明. ひとまずできたと思うので証明を一から書いている.
$A$ の定義と関数 $m : P \to A$ の定義にかなり苦労した.

こういった苦労は自分としてはいつものことで, 非常に基礎的なところで大きく躓くのである.

9 時半起床.

目が覚めたのは 6 時過ぎだった. いつもなら飲む頓服を今日は飲まなかった.
最近心と体のパワーが付いてきた実感があり, 目が覚めてからの鬱も軽くなっているのではという期待があった.

しかし徐々に抑鬱感が強くなってきた. 不安や緊張, 恐怖の感情がゆっくり芽生えてくる.
苦しくなってきた. 動けなくなりそうだ.
まだ朝の体調はそこまで回復していない. 残念だ.
頓服を飲んで起きた. 頓服は効いたが頭がぼうっとする.

数学をやるが考えがぼんやりしてしまう. けれど粘って考える.
こういう体調の時にも, ゆっくりでいいから深く考えられる力をつけたい.
鬱から解放されない限り, "こういう体調の時" は今後たくさんある.

数学は大して進まなかったがとりあえず途中で寝てしまわずに机に向かうことができたのは良かった.
頓服の眠気がそんなに強くなかったのも助かった.

昼食はハムエッグとご飯.
野菜とか肉が無くなってきているのでまた買い出しに行かないと駄目だ.

午後一番でプールに行く.
薬でぼんやりとした状態から逃れたかった.
スポーツセンターは混んでいた. ロビーに人があふれている.

電子掲示板に表示されている混雑状況を見たらプールは 150 人近く入場している. 確かプールは最大 300 人までだったと思う.
いつも平日の朝一番で行くとせいぜい 30 人程度なので物凄い混みようだ.

ロビーですでに緊張で体が硬くなったが思い切って入場した.

結局無事に泳いで出てくることができた.
一旦プールに入って泳ぎ始めてしまえば, 緊張や恐怖に悩まされることは無い.

更衣室が苦しかった.
大勢の人がいると, 自然に自分が他の人の迷惑になっている・足手纏いになっている・邪魔になっている・本当に申し訳ない, という思いが湧き出てきて軽い混乱状態に陥ってしまうのだ.

ただ, これまでのような激しい動悸や緊張感は無かった.
対人恐怖もゆっくりと回復してきているのだろう. 確実に.

帰宅したら不安と恐怖が強くなって横になった. 動けなくて 2 時間ほど休む.
かなり無理はしてたんだな.

買い出しに出るパワーは無かった.

シャワーを浴びて夕食. 焼き油揚げと納豆とご飯.