ていへんかけるたかさわるに

8 時半起床.

今朝は体調が良い.

いつもと気分を変えて図書館で数学の勉強をしようと決めた.

静かに集中できる.
夕方まで数学の本を読んだ.

今日読んだ箇所では随伴関手の具体例がいくつか与えられている.
以下はその最初のもの.

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$A$ を集合としたとき, $A$ の部分集合全体を対象とし, 包含関係を射とする圏を $2^A$ と表わす.

$A, B$ を集合とし, $f : A \to B$ を任意の写像とする.
このとき, $f$ から次の 3 種類の関手が導かれる.

$A_0 \subset A$, $B_0 \subset B$ に対して
\begin{align*}
f_!(A_0) &= f(A_0), \\
f^{-1}(B_0) &= \left\{\, x \mid x \in A.\, f(x) \in B_0 \,\right\}, \\
f_*(A_0) &= \left\{\, y \mid y \in B.\, f^{-1}(y) \subset A_0 \,\right\}.
\end{align*} これらは次の随伴関係を満たす.
$f_! : 2^A \to 2^B$ は $f^{-1} : 2^B \to 2^A$ の左随伴関手である.

また, $f_* : 2^A \to 2^B$ は $f^{-1}$ の右随伴関手である.

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この単純な例でもしばらく考えてようやくイメージが掴めた. 意味が理解できてくるととても面白い.