ていへんかけるたかさわるに

数学のノート,
数学: ばたばたする,
数学: 圏の骨格の構成
の続き.
圏 $\mathscr{C}$ に対する骨格 $\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)$ がそれ自身圏になることの証明.
(i) $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の対象 $X \in O$ に対して, その上の恒等射 $\mathrm{id}_{X} : X \to X$ のソースとターゲットが $X$ になる. すなわち
\begin{gather*}
d^0 \circ u(X) = d^0(\mathrm{id}_{X} : X \to X) = X = d^1(\mathrm{id}_{X} : X \to X) = d^1 \circ u(X) \\
\text{or} \\
d^0 \circ u = \mathrm{id}_{O} = d^1 \circ u
\end{gather*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[dl]^{d^1} \\
~ & O &
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.
(ii) 集まり $P$ を
\begin{equation*}
P = \{\, (f, g) \mid f, g \in A,\, d^{0}(f) = d^{1}(g) \,\}
\end{equation*}
により定義する. $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の合成可能な射の対 $(f, g) \in P$ (ここで $f : Y \to Z$, $g : X \to Y$ とする) に対して, 合成 $m(f, g) = f \circ g$ のソースは $g$ のソース $d^0(g)$ に等しく, ターゲットは $f$ のターゲット $d^1(f)$ に等しい, すなわち
\begin{gather*}
d^0 \circ m(f, g) = d^0(f \circ g : X \to Z) = X = d^0(g : X \to Y) = d^0 \circ p_2(f, g), \\
d^1 \circ m(f, g) = d^1(f \circ g : X \to Z) = Z = d^1(f : Y \to Z) = d^1 \circ p_1(f, g), \\
\text{or} \\
d^0 \circ m = d^0 \circ p_2, \quad d^1 \circ m = d^1 \circ p_1
\end{gather*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.
※: $p_1, p_2 : P \to A$ は座標の各成分への射影を表わす. つまり $p_1(f, g) = f$, $p_2(f, g) = g$ となるような関数である.

今日はここまで.

8 時半起床.
昨日の疲れ ── とくに精神的な ── が残っていてだるい. 抑鬱感も少しある.
久し振りに外に出ると, ほぼ必ず翌日は体調を崩す.
頓服を飲んで起きた.

昨日描いた絵をあらためて見直す. やっぱり弱々しい.
けれど描き足してその弱々しさを克服することはできそうに思えた.

家で描き足そう.

夕方まで数学をやる.
あと少しで証明を書き終えられそうなところまで来た. でもどうなるかはまだわからない.

数学をやりながら途中, 昼食をとる. いつもの さがえ蕎麦 を茹でてもりにして食べる.

午後は できればチラシ配りに出ようと思っていたのだが体調が悪くなってきたので止めた.

その代わり絵を少し描いた.
今朝は描き足せば良くなると思っていたが, 実際描いてみるとうまく行かない.
弱々しいと思うのだが, 具体的に何が理由でそのように感じるのかわからない.
鉛筆で線を数本描き加えただけで色を塗ったりするところまでは辿り着かなかった.

夜から鬱が苦しくなり寝込む.
遅い時間に頓服を飲んだら少し落ち着いた.