ていへんかけるたかさわるに

数学のノート,
数学: ばたばたする,
数学: 圏の骨格の構成
の続き.
圏 $\mathscr{C}$ に対する骨格 $\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)$ がそれ自身圏になることの証明.
(i) $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の対象 $X \in O$ に対して, その上の恒等射 $\mathrm{id}_{X} : X \to X$ のソースとターゲットが $X$ になる. すなわち
\begin{gather*}
d^0 \circ u(X) = d^0(\mathrm{id}_{X} : X \to X) = X = d^1(\mathrm{id}_{X} : X \to X) = d^1 \circ u(X) \\
\text{or} \\
d^0 \circ u = \mathrm{id}_{O} = d^1 \circ u
\end{gather*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[dl]^{d^1} \\
~ & O &
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.
(ii) 集まり $P$ を
\begin{equation*}
P = \{\, (f, g) \mid f, g \in A,\, d^{0}(f) = d^{1}(g) \,\}
\end{equation*}
により定義する. $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の合成可能な射の対 $(f, g) \in P$ (ここで $f : Y \to Z$, $g : X \to Y$ とする) に対して, 合成 $m(f, g) = f \circ g$ のソースは $g$ のソース $d^0(g)$ に等しく, ターゲットは $f$ のターゲット $d^1(f)$ に等しい, すなわち
\begin{gather*}
d^0 \circ m(f, g) = d^0(f \circ g : X \to Z) = X = d^0(g : X \to Y) = d^0 \circ p_2(f, g), \\
d^1 \circ m(f, g) = d^1(f \circ g : X \to Z) = Z = d^1(f : Y \to Z) = d^1 \circ p_1(f, g), \\
\text{or} \\
d^0 \circ m = d^0 \circ p_2, \quad d^1 \circ m = d^1 \circ p_1
\end{gather*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.
※: $p_1, p_2 : P \to A$ は座標の各成分への射影を表わす. つまり $p_1(f, g) = f$, $p_2(f, g) = g$ となるような関数である.

今日はここまで.