ていへんかけるたかさわるに

数学のノート,
数学: ばたばたする,
数学: 圏の骨格の構成
の続き.
圏 $\mathcal{C}$ に対する骨格 $\mathrm{sk}(\mathcal{C})=(A,O,d^0,d^1,u,m)$ がそれ自身圏になることの証明.
(i) $\mathrm{sk}(\mathcal{C})$ における任意の対象 $X\in O$ に対して, その上の恒等射 ${\mathrm{id}}_X:X\to X$ のソースとターゲットが $X$ になる. すなわち
$$\begin{array}{c}{d}^0\circ u(X)=d^0({\mathrm{id}}_X:X\to X)=X=d^1({\mathrm{id}}_X:X\to X)=d^1\circ u(X)\\ \text{or}\\ d^0\circ u={\mathrm{id}}_O=d^1\circ u\end{array}$$
が成り立つ. これは図式
$$A{d}^{0}Ou{\mathrm{id}}_{O}uA{d}^{1}O$$
が可換になることと同値である.
(ii) 集まり $P$ を
$$P=\{(f,g)\mid f,g\in A,d^0(f)=d^1(g)\}$$
により定義する. $\mathrm{sk}(\mathcal{C})$ における任意の合成可能な射の対 $(f,g)\in P$ (ここで $f:Y\to Z$, $g:X\to Y$ とする) に対して, 合成 $m(f,g)=f\circ g$ のソースは $g$ のソース $d^0(g)$ に等しく, ターゲットは $f$ のターゲット $d^1(f)$ に等しい, すなわち
$$\begin{array}{c}{d}^0\circ m(f,g)=d^0(f\circ g:X\to Z)=X=d^0(g:X\to Y)=d^0\circ p_2(f,g),\\ d^1\circ m(f,g)=d^1(f\circ g:X\to Z)=Z=d^1(f:Y\to Z)=d^1\circ p_1(f,g),\\ \text{or}\\ d^0\circ m=d^0\circ p_2,d^1\circ m=d^1\circ p_1\end{array}$$
が成り立つ. これは図式
$$Pm{p}_{2}A{d}^{0}Pm{p}_{1}A{d}^{1}A{d}^{0}OA{d}^{1}O$$
が可換になることと同値である.
※: $p_1,p_2:P\to A$ は座標の各成分への射影を表わす. つまり $p_1(f,g)=f$, $p_2(f,g)=g$ となるような関数である.

今日はここまで.