小さいが無視できない論理の飛躍が一つあったのでそれをきちんと書き直す.
また, 議論の流れを少しすっきりとまとめられる部分があったのでそこも書き直す.
これで証明としては完成したと思う.
解いたのは, 圏の定義に関する以下の練習問題である.
問題中, 「本節で与えた圏の定義」とあるのは, 教科書の本文で与えている通常使われる圏の定義を指す.
$\mathbf{問題.}$ 以下に示す圏の定義が本節で与えた圏の定義と同等であることを示せ. ここで行う定義において, 元 $e$ が $\textbf{恒等性 (identity property)}$ を持つとは, 任意の $f$ と $g$ に対して, $e \circ f$ が定義されるならば常に $e \circ f = f$ が成り立ち, $g \circ e$ が定義されるならば常に $g \circ e = g$ が成り立つことである.
以下に定義を述べる: 圏とは, 記号 "$\circ$" によって表わされる部分 2 項演算を持った集合で以下の条件を満たすものである.
- ($a$) 以下の各々の条件は同値である.
- (i) $f \circ g$ と $g \circ h$ が定義される;
- (ii) $f \circ (g \circ h)$ が定義される;
- (iii) $(f \circ g) \circ h$ が定義される;
- ($b$) $(f \circ g) \circ h$ が定義されるならば, $(f \circ g) \circ h =
f \circ (g \circ h)$ が成り立つ;- ($c$) 任意の $f$ に対して, 恒等性を持った元 $e$, $e'$ が存在して $e
\circ f$ と $f \circ e'$ が定義される.
この問題について考えたことがあるが, それは清書が終わってから書く.
使っている Mac で現在 LaTeX が使えるかどうか試してみた.
簡単な LaTeX のファイルを作成してコンパイルしてみたらエラーになる.
何というか, 2 年以上使っていなかったからなあ.
MacPorts から最新の texlive をインストールしたら, テストファイルはコンパイルできるようになった.
ここで力尽きた.
証明の清書は明日にする.
